円に内接する四角形

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「四角形が円に内接している」— この条件から言えることは $2$ つ。

$$\text{(i) 向かい合う角の和}=180^{\circ }$$

$$\text{(ii) 1 つの外角}=\text{向かい合う内角}$$

(i)が主役だ。 向かい合う角(対角)は $\angle \mathrm{A}$ と $\angle \mathrm{C}$、$\angle \mathrm{B}$ と $\angle \mathrm{D}$。

$$\angle \mathrm{C}=180^{\circ }-\angle \mathrm{A}=180^{\circ }-85^{\circ }=95^{\circ }$$

$$\angle \mathrm{D}=180^{\circ }-\angle \mathrm{B}=180^{\circ }-110^{\circ }=70^{\circ }$$

隣り合う角と足してはいけない。 $\angle \mathrm{A}$ の相手は、$1$ つ飛ばした $\angle \mathrm{C}$ である。

検算: 四角形の内角の和は $360^{\circ }$。$85+110+95+70=360$ ✓ — 必ずこれを確かめる。

$\angle \mathrm{A}$ と $\angle \mathrm{C}$ は向かい合っているので、和は $180^{\circ }$。

$$\angle \mathrm{C}=180^{\circ }-\angle \mathrm{A}=180^{\circ }-85^{\circ }=95^{\circ }$$

同じく $\angle \mathrm{B}$ と $\angle \mathrm{D}$ も向かい合うので

$$\angle \mathrm{D}=180^{\circ }-\angle \mathrm{B}=180^{\circ }-110^{\circ }=70^{\circ }$$

発展 — 一歩先へ。 どんな四角形でも円に内接できる、わけではない。 ここが面白いところだ。

三角形なら、どんな形でも必ず外接円がある($3$ 点を通る円は必ず $1$ つ引ける)。しかし四角形になると、円に内接できるものと、できないものに分かれる。

$4$ 点目が「たまたま」円の上に乗るかどうか — その条件が、対角の和が $180^{\circ }$ なのである。

• 長方形・正方形 → 内接できる(対角は $90^{\circ }+90^{\circ }=180^{\circ }$ ✓)
• 等脚台形 → 内接できる
• 平行四辺形(長方形以外) → 内接できない(対角が等しいので、和が $180^{\circ }$ になるのは長方形のときだけ)
• ひし形(正方形以外) → 内接できない

平行四辺形が円に内接できないという事実は、意外に感じるかもしれない。しかし対角が等しい($\angle \mathrm{A}=\angle \mathrm{C}$)ので、和が $180^{\circ }$ になるには両方 $90^{\circ }$ — つまり長方形しかありえない。

「$4$ 点が同じ円の上に乗る」ことは、特別な事件なのだ。だからこそ、それが示せたときの見返り(円の定理が全部使える)が大きい。

$5$ 点、$6$ 点と増えれば、共円はさらに珍しくなる。 それでも、正多角形はすべて共円だし、有名な九点円(三角形の $9$ つの特別な点が $1$ つの円に乗る!)のような驚異も存在する。

「たまたま円の上に乗る」ことの不思議さ — 幾何学者が何千年も惹きつけられてきた理由が、ここにある。

別解

「なぜ対角の和が $180^{\circ }$ なのか」 — 円周角の定理から、$3$ 行で導ける。理由を知れば、「隣り合う角と足す」という誤りは起こらない。

$\angle \mathrm{A}$ と $\angle \mathrm{C}$ は、それぞれどの弧を見ているか。

• $\angle \mathrm{A}$($=\angle \mathrm{DAB}$)は、$\mathrm{A}$ を含まない弧 $\mathrm{BCD}$ に対する円周角
• $\angle \mathrm{C}$($=\angle \mathrm{BCD}$)は、$\mathrm{C}$ を含まない弧 $\mathrm{BAD}$ に対する円周角

この $2$ つの弧を合わせると、円を $1$ 周する。

$$(\text{弧 }\mathrm{BCD})+(\text{弧 }\mathrm{BAD})=(\text{円周全体})$$

中心角で言えば、$2$ つの中心角の和は $360^{\circ }$。

円周角は中心角の半分だから

$$\angle \mathrm{A}+\angle \mathrm{C}=\frac{({\text{中心角}}_1)}{2}+\frac{({\text{中心角}}_2)}{2}=\frac{360^{\circ }}{2}=180^{\circ }$$

「$2$ つの弧を合わせると $1$ 周する。だから角の和は $360^{\circ }$ の半分」 — これが $180^{\circ }$ の正体だ。

同じ理由で $\angle \mathrm{B}+\angle \mathrm{D}=180^{\circ }$。 対角どうしのペアだけが、円を $1$ 周ぶん分け合っている — 隣り合う角では、こうならない(弧が重なったり足りなかったりする)。

そして、この定理の逆こそが強力である。

$$\text{対角の和が }180^{\circ }⟹\text{4 点は同一円周上にある}$$

「$4$ 点が同じ円の上にあることを示せ」という問題が、角度の計算に化ける。

$4$ 点が共円だと分かると、円の道具箱がまるごと開く。

• 円周角の定理(同じ弧の角は等しい)
• 方べきの定理(交点からの長さの積が等しい)
• 接弦定理

「共円を示す」ことは、道具を手に入れることなのだ。

外角の性質(ii)も、この $180^{\circ }$ から出る。 $\angle \mathrm{C}$ の外角は $180^{\circ }-\angle \mathrm{C}$ で、これは $\angle \mathrm{A}$ に等しい。

$$(\text{外角})=180^{\circ }-\angle \mathrm{C}=\angle \mathrm{A}(\text{向かい合う内角})$$

$2$ つの性質は、同じことの言いかえである。片方を覚えれば、もう片方は自動で出る。

円に内接する四角形は「対角がつながっている」。 向かい合う $2$ 角が、円周を分け合って $180^{\circ }$ を守る — そう思うと、この定理は忘れにくくなる。