外心と角の大きさ

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 外心 $\mathrm{O}$ は外接円の中心。だから (1) は「中心角=円周角の2倍」で即座に $\angle \mathrm{BOC}=70^{\circ }$。

(2)の鍵は、$\mathrm{OB}=\mathrm{OC}$(どちらも半径)であること。$△\mathrm{OBC}$ は二等辺三角形だ。

頂角 $70^{\circ }$ が分かっているから、底角は $(180^{\circ }-70^{\circ })÷2=55^{\circ }$。外心の問題は「半径で二等辺三角形を作る」が定石である。

(1) $\angle \mathrm{BOC}$ は弧 $\mathrm{BC}$ の中心角、$\angle \mathrm{BAC}$ は同じ弧の円周角なので

$$\angle \mathrm{BOC}=2\times 35^{\circ }=70^{\circ }$$

(2) $\mathrm{OB}=\mathrm{OC}$(半径)だから $△\mathrm{OBC}$ は二等辺三角形。底角 $\angle \mathrm{OBC}$ と $\angle \mathrm{OCB}$ は等しい。内角の和から

$$\angle \mathrm{OBC}=\frac{180^{\circ }-\angle \mathrm{BOC}}{2}=\frac{180^{\circ }-70^{\circ }}{2}=55^{\circ }$$

発展 — 一歩先へ。 $\angle \mathrm{A}$ が鈍角になると、外心 $\mathrm{O}$ は三角形の外へ出て、$\angle \mathrm{BOC}$ は $180^{\circ }$ を超える側(優角)で数えることになる。公式 $90^{\circ }-\alpha$ が負になるのは、その状況の信号だ。場合分けまで含めて理解できると強い。

外心の位置(鋭角三角形なら内部、直角三角形なら斜辺の中点、鈍角三角形なら外部)は、円周角の定理と表裏の関係にある。「直角三角形の外心=斜辺の中点」は、それ自体が頻出の道具である。

別解

(1)(2)をまとめて文字で処理すると、便利な公式が1本手に入る。

$\angle \mathrm{A}=\alpha$ とすると、中心角は $\angle \mathrm{BOC}=2\alpha$。二等辺三角形 $\mathrm{OBC}$ の底角は

$$\angle \mathrm{OBC}=\frac{180^{\circ }-2\alpha }{2}=90^{\circ }-\alpha$$

つまり「外心から見た底角は、向かいの頂角の余角」だ。今回は $90^{\circ }-35^{\circ }=55^{\circ }$ と一撃で出る。

内心の $\angle \mathrm{BIC}=90^{\circ }+\frac{A}{2}$ と並べて、「内心はプラス、外心はマイナス」の対で覚えておくと、五心の角度問題での取り違えが減る。もちろん、忘れたら二等辺三角形からその場で導き直せばよい。