内心と角の大きさ

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 内心 $\mathrm{I}$ は $3$ つの角の二等分線の交点。だから $\angle \mathrm{IBC}=\frac{\mathrm{B}}{2}$、$\angle \mathrm{ICB}=\frac{\mathrm{C}}{2}$。

三角形 $\mathrm{IBC}$ の内角の和は $180°$。$\angle \mathrm{BIC}=180°-\frac{\mathrm{B}}{2}-\frac{\mathrm{C}}{2}=180°-\frac{\mathrm{B}+\mathrm{C}}{2}$。

ここで $\mathrm{A}+\mathrm{B}+\mathrm{C}=180°$ から $\mathrm{B}+\mathrm{C}=180°-\mathrm{A}$。代入すると $\angle \mathrm{BIC}=180°-\frac{180°-\mathrm{A}}{2}=90°+\frac{\mathrm{A}}{2}$。

① 二等分される角。 $\mathrm{I}$ は内心だから、$\mathrm{BI}$ は $\angle \mathrm{B}$ を、$\mathrm{CI}$ は $\angle \mathrm{C}$ を二等分する。よって

$$\angle \mathrm{IBC}=\frac{\angle \mathrm{B}}{2},\angle \mathrm{ICB}=\frac{\angle \mathrm{C}}{2}$$

② 三角形 $\mathrm{IBC}$ の内角の和。

$$\angle \mathrm{BIC}=180°-\angle \mathrm{IBC}-\angle \mathrm{ICB}=180°-\frac{\angle \mathrm{B}+\angle \mathrm{C}}{2}$$

③ $\mathrm{A}$ で書きかえる。 $\angle \mathrm{A}+\angle \mathrm{B}+\angle \mathrm{C}=180°$ より $\angle \mathrm{B}+\angle \mathrm{C}=180°-\angle \mathrm{A}$。代入して

$$\angle \mathrm{BIC}=180°-\frac{180°-\angle \mathrm{A}}{2}=180°-90°+\frac{\angle \mathrm{A}}{2}=90°+\frac{1}{2}\angle \mathrm{A}$$

(証明終)

まとめ:内心がらみの角は「三角形 $\mathrm{IBC}$ の内角の和 + 角の二等分」で処理する。$\angle \mathrm{BIC}=90°+\frac{\mathrm{A}}{2}$ は、$\mathrm{A}$ が大きいほど $\angle \mathrm{BIC}$ も大きくなることを示す。必ず $90°$ より大きい(鈍角)のも特徴。

発展 — 一歩先へ。 $\angle \mathrm{BIC}=90°+\frac{\mathrm{A}}{2}$ は内心の特徴づけ。傍心(角の外部二等分線の交点)では $\angle \mathrm{B}{\mathrm{I}}_{\mathrm{A}}\mathrm{C}=90°-\frac{\mathrm{A}}{2}$ と符号が変わる。この角度公式は、内心・傍心を角で見分ける道具で、内接円・傍接円の作図や、五心の相互関係の証明に使われる。

別解

別解 — 外角($\mathrm{I}$ を頂点とする四角形)で捉える(別の視点)。 内心 $\mathrm{I}$ から $3$ 頂点への線を引くと、$\angle \mathrm{BIC}$ が現れる。これを、頂点 $\mathrm{A}$ と $\mathrm{I}$ を含む図形の角度関係で見る。

四角形 $\mathrm{ABIC}$…ではなく、$\mathrm{A}$ から $\mathrm{I}$ へ引いた線(これも角の二等分線)を考える。$\angle \mathrm{BAI}=\frac{\mathrm{A}}{2}$、$\angle \mathrm{ABI}=\frac{\mathrm{B}}{2}$ だから、三角形 $\mathrm{ABI}$ の外角として $\angle \mathrm{BIC}$ の一部が…と追うより、素直に三角形 $\mathrm{IBC}$ の内角和で出すのが速い(本解)。

検算として具体値を入れる。$\mathrm{A}=60°$ の正三角形に近い三角形なら、$\angle \mathrm{BIC}=90°+30°=120°$。実際、$\mathrm{B}=\mathrm{C}=60°$ なら $\angle \mathrm{IBC}=\angle \mathrm{ICB}=30°$、$\angle \mathrm{BIC}=180°-60°=120°$ で一致。$\mathrm{A}$ が大きいほど $\angle \mathrm{BIC}$ も大きくなる($90°+\frac{\mathrm{A}}{2}$)という関係が、具体例で確かめられる。

この式は覚えておくと便利で、内心を頂点とする角は必ず $90°$ を超える($90°+\frac{\mathrm{A}}{2}>90°$)。内心が三角形の“奥”にあることの現れだ。