内心と角の大きさ

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 内心 $\mathrm{I}$ は、角の二等分線の交点。だから $\angle \mathrm{IBC}=\frac{B}{2}$、$\angle \mathrm{ICB}=\frac{C}{2}$ と、半分の角が手に入る。

$△\mathrm{IBC}$ の内角の和を書くと、$\angle \mathrm{BIC}=180^{\circ }-\frac{B+C}{2}$。

$B+C=180^{\circ }-A$ を入れれば、$\angle \mathrm{BIC}=90^{\circ }+\frac{A}{2}$。$\angle \mathrm{A}$ だけで書ける公式になり、(1)(2)は代入と逆算で終わる。

なぜこうなるか。$\mathrm{I}$ は角の二等分線の交点なので $\angle \mathrm{IBC}=\frac{\mathrm{B}}{2}$、$\angle \mathrm{ICB}=\frac{\mathrm{C}}{2}$。$△\mathrm{IBC}$ の内角の和から

$$\angle \mathrm{BIC}=180^{\circ }-\frac{\mathrm{B}}{2}-\frac{\mathrm{C}}{2}=180^{\circ }-\frac{\mathrm{B}+\mathrm{C}}{2}$$

$\mathrm{B}+\mathrm{C}=180^{\circ }-\mathrm{A}$ を入れると

$$\angle \mathrm{BIC}=180^{\circ }-\frac{180^{\circ }-\mathrm{A}}{2}=90^{\circ }+\frac{\mathrm{A}}{2}$$

(1) $\mathrm{A}=50^{\circ }$ を代入。

$$\angle \mathrm{BIC}=90^{\circ }+\frac{50^{\circ }}{2}=90^{\circ }+25^{\circ }=115^{\circ }$$

(2) $\angle \mathrm{BIC}=130^{\circ }$ を公式に入れて逆算。

$$130^{\circ }=90^{\circ }+\frac{\mathrm{A}}{2}\Rightarrow \frac{\mathrm{A}}{2}=40^{\circ }\Rightarrow \mathrm{A}=80^{\circ }$$

発展 — 一歩先へ。 $\angle \mathrm{BIC}=90^{\circ }+\frac{A}{2}$ は必ず $90^{\circ }$ より大きい。内心から見ると、どの辺も鈍角に見えているわけだ。

$\mathrm{A}$ を動かしても $\angle \mathrm{BIC}$ が一定なら、$\mathrm{I}$ は $\mathrm{BC}$ を一定の角で見込む円弧上にいる。実はこの弧の中心は「弧 $\mathrm{BC}$ の中点」で、内心・傍心が同じ円上に並ぶ美しい構図(トリリウムの定理と呼ばれる)につながっている。

別解

「外角」を2回使う導き方もある。補助線は直線 $\mathrm{AI}$ の延長だ。

$\mathrm{AI}$ を延長して、$\angle \mathrm{BIC}$ を2つの角に割る。

延長線の左側の角は、$△\mathrm{ABI}$ の外角だから、遠くの2内角の和 $\frac{A}{2}+\frac{B}{2}$ に等しい。

右側の角も同様に、$△\mathrm{ACI}$ の外角で $\frac{A}{2}+\frac{C}{2}$。

足すと

$$\angle \mathrm{BIC}=A+\frac{B+C}{2}=A+\frac{180^{\circ }-A}{2}=90^{\circ }+\frac{A}{2}$$

内角の和ルートと同じ公式に着く。「外角=遠くの2角の和」は、角の問題全般で図をほどく万能ナイフだ。この道で導けると、公式を忘れても図から数十秒で復元できる。