数学A / 図形の性質

辺を2:1に内分した点で作る三角形の面積

★★★★ 難関面積比内分点

問題

三角形 $ABC$ の辺 $AB, BC, CA$ を、それぞれ同じ向きに $2 : 1$ に内分する点を $D, E, F$ とする( $AD : DB = BE : EC = CF : FA = 2 : 1$ )。三角形 $DEF$ の面積は、三角形 $ABC$ の面積の何倍か。

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$△ DEF$ は、 $△ ABC$ から $3$ つの隅の三角形を取り除いた残り。各隅の三角形の面積は、はさむ $2$ 辺の比の積で $△ ABC$ と結べる。

解答・解説

方針

$△ DEF = △ ABC - (3 つの隅の三角形)$ 。隅の三角形(例 $△ ADF$ )は、 $2$ 辺の比 $AD = \frac{2}{3} AB$ 、 $AF = \frac{1}{3} AC$ から面積が $\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{9}$ 倍。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 中に作られる三角形 $DEF$ の面積を、直接求めるより「全体 $-$ 隅の $3$ つ」で攻める。

$△ DEF = △ ABC - (△ ADF + △ BED + △ CFE)$ 。

隅の三角形はどれも同じ大きさ。たとえば $△ ADF$ は、頂点 $A$ を共有し $2$ 辺の比が $AD = \frac{2}{3} AB$ 、 $AF = \frac{1}{3} AC$ 。面積は $\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{9}$ 倍。隅 $3$ つで $\frac{6}{9}$ 、残りは $1 - \frac{6}{9} = \frac{1}{3}$ 。

重要

1

つの角を共有する

2

三角形の面積比 = はさむ

2

辺の長さの比の積

① 隅の三角形を求める。 頂点 $A$ の隅の三角形 $△ ADF$ を考える。 $D$ は $AB$ を $2 : 1$ に内分するので $AD = \frac{2}{3} AB$ 。 $F$ は $CA$ を $2 : 1$ に内分するので $CF : FA = 2 : 1$ 、すなわち $AF = \frac{1}{3} AC$ 。角 $A$ を共有するから

$△ ADF = \frac{AD}{AB} \cdot \frac{AF}{AC} \cdot △ ABC = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} △ ABC = \frac{2}{9} △ ABC$

各辺を 2:1 に内分した D,E,F。隅の三角形は各 2/9、残る △DEF は元の 1/3

② $3$ つとも同じ。 対称性(どの頂点でも $2$ 辺の比が $\frac{2}{3}$ と $\frac{1}{3}$ )から、 $△ BED$ も $△ CFE$ も同じく $\frac{2}{9} △ ABC$ 。 $3$ つの隅の合計は

$3 \times \frac{2}{9} △ ABC = \frac{2}{3} △ ABC$

③ 引く。

$△ DEF = △ ABC - \frac{2}{3} △ ABC = \frac{1}{3} △ ABC$

まとめ:内分点で作る三角形の面積は「全体 − 隅 $3$ つ」。隅の三角形は「角を共有 → はさむ $2$ 辺の比の積」で全体と結べる。各隅が $\frac{2}{9}$ 、 $3$ つで $\frac{2}{3}$ を除いて、残りが $\frac{1}{3}$ 。

発展 — 一歩先へ。 辺を $t : (1 - t)$ に内分した点で作る中点三角形の面積比は $1 - 3 t (1 - t)$ 。 $t = \frac{1}{3}$ (本問)で $1 - 3 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$ 、 $t = \frac{1}{2}$ (中点)なら $\frac{1}{4}$ 。ラウスの定理はこれをチェバ線の交点で作る三角形に一般化し、面積比を比のきれいな式で与える。面積比は $1$ 次変換で不変なので、 $1$ つの三角形で調べれば全てに通じる。

答

$\frac{1}{3}$ 倍

別解

別解 — 面積比を保つ $1$ 次変換で正三角形に直す(得意な人向けの高い視点)。 面積比は $1$ 次変換で保たれる(比は変換の行列式で全体が同じ倍率になり、比では相殺)。だから、どんな三角形でも計算しやすい正三角形(または直角二等辺三角形)で調べれば十分。

$A (0, 0), B (1, 0), C (0, 1)$ の直角二等辺三角形(面積 $\frac{1}{2}$ )で計算する。 $2 : 1$ 内分点は

$D = (\frac{2}{3}, 0), E = (\frac{1}{3}, \frac{2}{3}), F = (0, \frac{1}{3}) .$

( $AD : DB = 2 : 1$ など、同じ向き。) $△ DEF$ の面積を座標で計算すると $\frac{1}{6}$ 。 $△ ABC = \frac{1}{2}$ だから比は $\frac{1/6}{1/2} = \frac{1}{3}$ 。

隅を $3$ つ引く本解と同じ $\frac{1}{3}$ だが、「面積比は $1$ 次変換で不変」を使うと、いちばん計算しやすい三角形 $1$ つで代表して調べられる。一般の三角形での結論は、この特別な場合から自動的に従う。

ポイント

各隅の三角形(角を共有) $= \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{9}$ 倍。
$△ DEF = 1 - 3 \cdot \frac{2}{9} = \frac{1}{3}$ 倍。

よくある間違い

隅の三角形の面積比 $\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{9}$ の $2$ 辺の比を取り違える。
隅の三角形が $3$ つとも同じ大きさ( $\frac{2}{9}$ )であることを確認せず、 $1$ つだけで計算する。
$△ DEF = △ ABC - 3 \times \frac{2}{9}$ の引き算( $1 - \frac{6}{9} = \frac{1}{3}$ )を誤る。