内接円と接線の長さ

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 内接円の問題では、円外の $1$ 点から引いた $2$ 本の接線の長さは等しい — これが唯一にして最強の武器だ。

$$\mathrm{AP}=\mathrm{AR},\mathrm{BP}=\mathrm{BQ},\mathrm{CQ}=\mathrm{CR}$$

同じ頂点から出る $2$ 本の接線は、同じ長さ。 だから、求める長さを

$$\mathrm{AP}=\mathrm{AR}=x,\mathrm{BP}=\mathrm{BQ}=y,\mathrm{CQ}=\mathrm{CR}=z$$

と文字で置く。すると $3$ 辺の長さが、この $3$ 文字で表せる。

$$x+y=\mathrm{AB}=7,y+z=\mathrm{BC}=5,z+x=\mathrm{CA}=6$$

$3$ 文字・$3$ 式の連立方程式になった。図形の問題が、代数の問題に化けたのだ。

この定理から、同じ頂点から出る接線は等しい。そこで

$$\mathrm{AP}=\mathrm{AR}=x,\mathrm{BP}=\mathrm{BQ}=y,\mathrm{CQ}=\mathrm{CR}=z$$

とおく。各辺は2つの接線に分かれるので

$$\mathrm{AB}=x+y=7,\mathrm{BC}=y+z=5,\mathrm{CA}=z+x=6$$

3つを全部たすと、左辺は $x,y,z$ が2回ずつ出るので

$$2(x+y+z)=7+5+6=18\Rightarrow x+y+z=9$$

あとは引き算だ。$x+y+z=9$ から $\mathrm{BC}=y+z=5$ を引くと

$$x=9-5=4$$

同じように

$$y=9-6=3,z=9-7=2$$

まとめ:よって $\mathrm{AP}=x=4$、$\mathrm{BQ}=y=3$、$\mathrm{CR}=z=2$。

発展 — 一歩先へ。 「円外の点から引いた $2$ 本の接線は等しい」— この事実は、対称性から一瞬で分かる。

点 $\mathrm{A}$ と円の中心 $\mathrm{I}$ を結ぶ直線を軸として、図全体を折り返す。円は自分自身に重なり、$2$ 本の接線は入れかわる。折り返して重なるのだから、長さは等しい。

もちろん、直角三角形と三平方の定理でも証明できる(${\mathrm{AP}}^2={\mathrm{AI}}^2-r^2={\mathrm{AR}}^2$)。しかし対称性による説明のほうが、計算なしで本質を突いている。

「図形に対称軸があるか?」と問う癖をつけたい。対称性が見つかれば、多くの等式が計算せずに得られる。

• 二等辺三角形 → 底角が等しい(折り返せば重なる)
• 円 → 中心を通る直線で折り返せば重なる
• 正多角形 → 何本もの対称軸を持つ

「同じものは同じ」と言い切れる根拠が対称性だ。難しい計算を始める前に、まず図を眺めて、折り返せる軸がないかを探す — 幾何を得意にする、いちばんの近道である。

別解

この連立方程式には、$1$ 行で解ける鮮やかな手がある。そして、その過程で覚えておくと一生使える公式が手に入る。

$3$ 式を、すべて足す。

$$(x+y)+(y+z)+(z+x)=7+5+6$$

左辺は $2x+2y+2z=2(x+y+z)$、右辺は $18$。

$$2(x+y+z)=18⟹x+y+z=9$$

$3$ つの和が、いきなり出た。

ここで $9$ という数の正体を見ておこう。$3$ 辺の和(周の長さ)は $7+5+6=18$。その半分が $9$ だ。周の長さの半分を $s$ と書く。

$$s=\frac{a+b+c}{2}=\frac{18}{2}=9$$

あとは引き算だけ。

$x+y+z=9$ から、$y+z=5$ を引くと

$$x=9-5=4(=\mathrm{AP})$$

同様に

$$y=9-6=3(=\mathrm{BQ}),z=9-7=2(=\mathrm{CR})$$

連立を解く手間がまったくない ✓。

そして、これが公式になる。

$$\boxed{\mathrm{AP}=s-a,\mathrm{BQ}=s-b,\mathrm{CQ}=s-c}$$

($a=\mathrm{BC}$、$b=\mathrm{CA}$、$c=\mathrm{AB}$ で、$s$ は周の半分。)

「頂点 $\mathrm{A}$ からの接線の長さ $=$ $s$ $-$($\mathrm{A}$ の向かいの辺)」。 $\mathrm{AP}=9-5=4$ — 検算も一瞬だ。

なぜ $s$(周の半分)が出てくるのか。 $3$ 辺は $6$ つの接線に分けられ、それぞれが同じ長さのペアになっている。だから $x+y+z$ は「周の半分」にちょうど等しい — $6$ 本の接線を、ペアごとに $1$ 本ずつ拾ったものなのだ。

この $s$ は、内接円まわりの公式で必ず主役になる。

• 面積: $S=rs$($r$ は内接円の半径)
• ヘロンの公式: $S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
• 接線の長さ: $s-a$、$s-b$、$s-c$

ヘロンの公式に $(s-a)$、$(s-b)$、$(s-c)$ が出てくるのは偶然ではない。 それは接線の長さだったのだ。$2000$ 年前から知られる公式の中に、内接円の影が潜んでいる — 知ると、公式の顔つきが変わって見える。