接線と割線の方べきの定理

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「接線 $1$ 本と割線 $1$ 本」が同じ点 $\mathrm{P}$ から出ている。この配置を見たら方べきの定理だ。

接線の長さの $2$ 乗が、割線の $2$ 交点までの距離の積に等しい。${\mathrm{PT}}^2=\mathrm{PA}\cdot \mathrm{PB}$。

$\mathrm{PT}=6$、$\mathrm{PA}=4$ を代入すると $36=4\cdot \mathrm{PB}$、$\mathrm{PB}=9$。求める $\mathrm{AB}$ は $\mathrm{P}$ が外にあり $\mathrm{A}$ が手前だから $\mathrm{AB}=\mathrm{PB}-\mathrm{PA}=5$。

① 方べきの定理を書く。

$${\mathrm{PT}}^2=\mathrm{PA}\cdot \mathrm{PB}$$

② 代入して $\mathrm{PB}$ を求める。 $\mathrm{PT}=6$、$\mathrm{PA}=4$ より

$$6^2=4\cdot \mathrm{PB}⟹36=4\mathrm{PB}⟹\mathrm{PB}=9$$

③ $\mathrm{AB}$ を求める。 $\mathrm{P},\mathrm{A},\mathrm{B}$ の順だから

$$\mathrm{AB}=\mathrm{PB}-\mathrm{PA}=9-4=5$$

まとめ:同じ点から接線と割線が出ていれば方べきの定理 ${\mathrm{PT}}^2=\mathrm{PA}\cdot \mathrm{PB}$。接線は $2$ 乗、割線は $2$ 距離の積という形を覚えておけば、代入で即答できる。$\mathrm{PA}$ は近いほう、$\mathrm{PB}$ は遠いほうの距離。

発展 — 一歩先へ。 方べき $\mathrm{PA}\cdot \mathrm{PB}=d^2-r^2$ は、点 $\mathrm{P}$ の円に関する不変量(点の“べき”)。$\mathrm{P}$ が円の内側だと負になり $2$ 弦の定理に、外側だと正で接線・割線の定理になる。$2$ つの円に対する方べきが等しい点の集合が根軸(前に軌跡で登場)で、方べきは平面幾何を貫く基本量だ。

別解

別解 — 「$\mathrm{P}$ と円だけで決まる量」$d^2-r^2$ で見る(得意な人向けの視点)。 円の中心を $\mathrm{O}$、半径 $r$、$\mathrm{OP}=d$ とする。接線は接点で半径と直角だから、三平方で ${\mathrm{PT}}^2=d^2-r^2$。

一方、割線の積 $\mathrm{PA}\cdot \mathrm{PB}$ も、割線が中心を通る特別な場合を考えると $(d-r)(d+r)=d^2-r^2$。

つまり接線の $2$ 乗も割線の積も、同じ量 $d^2-r^2$(点 $\mathrm{P}$ の方べき)を測っている。だからどんな割線でも $\mathrm{PA}\cdot \mathrm{PB}$ は一定。

本問は ${\mathrm{PT}}^2=36$ が方べき。$\mathrm{PA}=4$ なら $\mathrm{PB}=\frac{36}{4}=9$、$\mathrm{AB}=5$。方べきの定理を「点と円で決まる不変量」と読むと、接線・割線・$2$ 弦の $3$ つの定理が $1$ つの量 $d^2-r^2$ の別々の顔だと分かる。