数学A / 図形の性質

円に内接する弦の長さ(円周角と正弦定理)

実戦編図形の性質円周角正弦定理弦単元横断

問題

半径 $R$ の円において、弦 $AB$ に対する円周角(弧 $AB$ の上に立つ角)が $θ$ であるとき、弦 $AB$ の長さが $2 R sin θ$ であることを示せ。

ヒントを見る

円周上に点 $C$ をとると、三角形 $ABC$ の外接円は与えられた円。 $AB$ の対角は円周角 $θ$ 。正弦定理 $\frac{AB}{sin θ} = 2 R$ 。

解答・解説

方針

弦 $AB$ に対する円周角 $θ$ を対角にもつ三角形を作る。その外接円がもとの円だから、正弦定理を辺 $AB$ と対角 $θ$ に使う。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「弦の長さ」と「円周角」を結びたい。円周角だけでは弦の長さを測れないが、三角形を作れば話が変わる。

円周上に点 $C$ をとって三角形 $ABC$ を作ると、 $θ$ は辺 $AB$ の対角になる。しかもこの三角形の外接円は、いま考えている円そのものだ。

「辺と対角と外接円の半径」の関係といえば正弦定理。 $\frac{AB}{sin θ} = 2 R$ を書けば終わりが見える。

定理正弦定理:三角形の辺

AB

とその対角

θ

、外接円半径

R

で

\frac{AB}{sin θ} = 2 R

① 三角形を作る。 円周上(弧 $AB$ の反対側)に点 $C$ をとる。円周角の定理より、 $∠ ACB$ は弦 $AB$ に対する円周角で、その大きさは $θ$ (円周角はとる位置によらず一定)。

② 外接円と正弦定理。 三角形 $ABC$ の外接円は与えられた半径 $R$ の円。正弦定理を辺 $AB$ とその対角 $θ$ に使うと $\frac{AB}{sin θ} = 2 R .$ ③ 結論。 $AB = 2 R sin θ .$

弦 AB に立つ円周角θ。AB=2R sinθ(正弦定理の基)

まとめ 弦の対角(円周角 $θ$ )を作り、外接円に正弦定理を当てて $AB = 2 R sin θ$ 。円周角の一定性と外接円(正弦定理)の融合。正弦定理の“半径版”そのもの。

発展 — 一歩先へ。 $θ$ を小さくすると $sin θ \approx θ$ だから、弦 $2 R sin θ$ は弧の長さ $2 R θ$ に近づく。「小さい角では弦と弧はほぼ同じ」。数IIIで学ぶ極限 $\frac{sin θ}{θ} \to 1$ は、この図形的事実の式による表現である。

答

円周上に点 $C$ をとり三角形 $ABC$ を作ると、 $AB$ の対角は円周角 $θ$ 。三角形 $ABC$ の外接円がこの円なので、正弦定理 $\frac{AB}{sin θ} = 2 R$ 、よって $AB = 2 R sin θ$ 。

別解

別解 — 中心に降りて直角三角形を作る(苦手な人向け)。 正弦定理を使わずに、中心角から直接測ってみる。

円周角の定理より、弦 $AB$ に対する中心角は $2 θ$ 。三角形 $OAB$ は $OA = OB = R$ の二等辺三角形だ。

中心 $O$ から弦 $AB$ に垂線を下ろすと、頂角 $2 θ$ は半分の $θ$ に、弦も半分に割られる。できた直角三角形で

$\frac{AB}{2} = R sin θ ⟹ AB = 2 R sin θ .$

じつはこの計算こそ、正弦定理 $\frac{a}{sin A} = 2 R$ の証明の中身である。定理を「使う」本解と、定理を「作る」この解。両方を知っていれば忘れようがない。

ポイント

円周角は位置によらず一定、 $∠ ACB = θ$ 。
三角形 $ABC$ の外接円が半径 $R$ の円。
正弦定理 $\frac{AB}{sin θ} = 2 R$ 、 $AB = 2 R sin θ$ 。

よくある間違い

円周角と中心角の関係を逆にして、中心角を $\frac{θ}{2}$ とする(中心角が円周角の2倍)。
弦 $AB$ に立つ円周角は、どちらの弧に $C$ を取るかで $θ$ と $π - θ$ の2通りあることに触れない( $sin$ の値は同じなので結論は変わらないが、論述では一言添える)。
$θ = \frac{π}{2}$ のとき $AB = 2 R$ (直径)になるという即席の検算をしない。