サッカーボール型多面体

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 面の種類が $2$ つあっても、辺の数え方は変わらない。各面の辺数を総和し、「$1$ 辺は $2$ 面で共有」だから $2$ で割る。

頂点も同じ発想でいける。「$1$ 頂点に何面集まるか」で割るか、オイラーの定理に委ねる。

複雑に見えても、数え上げの重複補正とオイラーの定理という $2$ 本柱で必ず解ける。そう見通しを立てる。

(1) 面ごとに辺を数える。五角形 $12$ 枚は $5\times 12=60$、六角形 $20$ 枚は $6\times 20=120$。合計は

$$60+120=180$$

これは1辺を、となり合う $2$ 枚の面で $2$ 回ずつ数えている。だから $2$ で割る。

$$e=\frac{180}{2}=90$$

(2) 面の数は $f=12+20=32$。オイラーの定理に入れる。

$$v-e+f=2$$

$$v-90+32=2\Rightarrow v-58=2\Rightarrow v=60$$

発展 — 一歩先へ。 サッカーボール型のように、正五角形と正六角形だけででき、どの頂点にも $3$ 面が集まる多面体を考える。五角形を $P$ 枚、六角形を $H$ 枚とすると、五角形の数はつねに $P=12$ になる。六角形が何枚でも変わらない。

理由はオイラーの定理だ。$3$ 面が集まる条件から $2e=3v$、辺の総数から $2e=5P+6H$、面の数は $f=P+H$。これらを $v-e+f=2$ に入れて整理すると $P=12$ だけが残る。この事実は、炭素分子フラーレン ${\mathrm{C}}_{60}$ やジオデシックドームでも成り立っている。

別解

別解 — 頂点を「面の角の重複」で数える(オイラーを使わないルート)。 辺を数えたのと同じ発想で、頂点も数えられる。

各面の「かど(角)」の総数は、五角形が $5$ 個、六角形が $6$ 個ずつ持つから

$$5\times 12+6\times 20=180.$$

サッカーボール型では、どの頂点にも面が $3$ 枚ずつ集まる。だから $1$ つの頂点は、この総数の中で $3$ 回ぶん数えられている。よって

$$v=\frac{180}{3}=60.$$

同じ $180$ を、辺は「$1$ 辺が $2$ 面で共有」で $2$ で割って $e=90$、頂点は「$1$ 頂点に $3$ 面が集まる」で $3$ で割って $v=60$。オイラーの定理を経由せず、本解と同じ $e=90$、$v=60$ が出る。