三角形の重心

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 重心について覚えることは、たった $1$ つでよい。

$$\mathrm{AG}:\mathrm{GM}=2:1$$

重心は、中線を頂点側から $2:1$ に分ける。 頂点に近いほうが $2$、辺に近いほうが $1$ — 頂点側が長い、と覚える。

(1) 中線 $\mathrm{AM}=9$ は、$2+1=3$ つぶんにあたる。$1$ つぶんは $3$ だから

$$\mathrm{AG}=3\times 2=6,\mathrm{GM}=3\times 1=3$$

(2) $\mathrm{AG}=8$ は $2$ つぶん。$1$ つぶんは $4$ で、$\mathrm{AM}$ は $3$ つぶんだから $12$。

比を「何個ぶん」で考えると、行き来が楽になる。 $\mathrm{AG}$ は全体の $\frac{2}{3}$、$\mathrm{GM}$ は $\frac{1}{3}$ である。

つまり $\mathrm{AG}:\mathrm{GM}=2:1$。頂点 $\mathrm{A}$ に近いほうが長く、辺の中点 $\mathrm{M}$ に近いほうが短い。

(1) $\mathrm{AM}=9$ を $2:1$ に分ける。合計は $2+1=3$ 個分。

$$\mathrm{AG}=9\times \frac{2}{3}=6,\mathrm{GM}=9\times \frac{1}{3}=3$$

(2) $\mathrm{AG}$ は全体の $\frac{2}{3}$ にあたる。$\mathrm{AG}=8$ なので、全体 $\mathrm{AM}$ は

$$\mathrm{AM}=8÷\frac{2}{3}=8\times \frac{3}{2}=12$$

発展 — 一歩先へ。 三角形には、重心のほかにも「$3$ 本の線が $1$ 点で交わる」点がいくつもある。五心と呼ばれる。

• 重心($\mathrm{G}$): $3$ 本の中線の交点。三角形の面積の中心
• 外心($\mathrm{O}$): $3$ 辺の垂直二等分線の交点。$3$ 頂点から等距離 → 外接円の中心
• 内心($\mathrm{I}$): $3$ 角の二等分線の交点。$3$ 辺から等距離 → 内接円の中心
• 垂心($\mathrm{H}$): $3$ 本の垂線の交点
• 傍心: 外側にできる円の中心($3$ つある)

どれも「$3$ 本が $1$ 点で交わる」という、当たり前ではない事実を含んでいる($3$ 本の直線は普通、三角形を作ってしまう)。

そして、驚くべき定理がある。

重心 $\mathrm{G}$、外心 $\mathrm{O}$、垂心 $\mathrm{H}$ は、必ず同じ直線上に並ぶ。 しかも $\mathrm{OG}:\mathrm{GH}=1:2$ という決まった比で。

この直線をオイラー線という。$18$ 世紀の数学者オイラーが発見した、幾何学で最も美しい定理のひとつだ。

どんな三角形を描いても — 細長くても、ひしゃげていても — $3$ つの中心が、必ず一直線に並ぶ。実際に定規で描いて確かめてみてほしい。幾何には、まだ人を驚かせる力がある。

別解

なぜ $2:1$ なのか。 その理由を $2$ つの角度から見よう。$1$ つは物理の目、もう $1$ つは座標の目である。

見方1: 重心は「つり合いの点」。

三角形の $3$ つの頂点に、同じ重さのおもりを $1$ 個ずつ置く。この $3$ 点の重さがつり合う点 — それが重心だ($\mathrm{G}$ という文字も、重心を表す言葉の頭文字である)。

なぜ $2:1$ になるのか。 シーソーで考えよう。

$\mathrm{B}$ と $\mathrm{C}$ のおもり($1$ ずつ)は、その中点 $\mathrm{M}$ にまとめて $2$ の重さを置いたのと同じ働きをする(中点なら左右がつり合うから)。

すると三角形の重心は、「$\mathrm{A}$ に重さ $1$、$\mathrm{M}$ に重さ $2$」のつり合う点になる。

シーソーのつり合いは「重さ $\times$ 距離」が等しいとき。

$$1\times \mathrm{AG}=2\times \mathrm{GM}⟹\mathrm{AG}:\mathrm{GM}=2:1$$

重い側($\mathrm{M}$、重さ $2$)が支点に近い。 てこの原理そのままだ。だから頂点側が $2$ つぶん、辺側が $1$ つぶんになる。

三角形の板を、鉛筆の先で支えるとしたら、重心の $1$ 点で支えられる — 物理的な意味がちゃんとある定理なのである。

見方2: 座標で確かめる。

$3$ 頂点の座標を $\mathrm{A}$、$\mathrm{B}$、$\mathrm{C}$ とすると、重心の座標は $3$ 点の平均になる。

$$\mathrm{G}=\frac{\mathrm{A}+\mathrm{B}+\mathrm{C}}{3}$$

一方、$\mathrm{M}$($\mathrm{BC}$ の中点)は

$$\mathrm{M}=\frac{\mathrm{B}+\mathrm{C}}{2}$$

この $2$ つから $\mathrm{G}$ を書き直す。

$$\mathrm{G}=\frac{\mathrm{A}+2\cdot \frac{\mathrm{B}+\mathrm{C}}{2}}{3}=\frac{\mathrm{A}+2\mathrm{M}}{3}=\frac{1\cdot \mathrm{A}+2\cdot \mathrm{M}}{1+2}$$

これは「$\mathrm{A}$ と $\mathrm{M}$ を $2:1$ に内分する点」の公式そのものだ($\mathrm{A}$ 側の重みが $1$、$\mathrm{M}$ 側の重みが $2$ のとき、点は $\mathrm{A}$ から見て $2:1$ の位置にくる)。

$\mathrm{G}$ が中線 $\mathrm{AM}$ 上にあり、$\mathrm{AG}:\mathrm{GM}=2:1$ である — 座標だけで証明できた。しかも $\mathrm{G}$ の式は $\mathrm{A}$、$\mathrm{B}$、$\mathrm{C}$ について対称だから、他の $2$ 本の中線についても同じことが言える — つまり $3$ 本の中線が $1$ 点で交わることまで、同時に証明されている。

「$3$ 本が $1$ 点で交わる」という奇跡のような事実が、$\frac{\mathrm{A}+\mathrm{B}+\mathrm{C}}{3}$ という対称な式の中に、あっさり収まっている。対称性が、交点の存在を保証する — 数学の鮮やかさが見える瞬間だ。