角の二等分線と辺の比

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「角の二等分線が対辺と交わる」— この形を見たら、角の二等分線と辺の比の定理だ。

$$\mathrm{BD}:\mathrm{DC}=\mathrm{AB}:\mathrm{AC}$$

「$\mathrm{B}$ 側の切れ端 : $\mathrm{C}$ 側の切れ端 $=$ $\mathrm{B}$ を含む辺 : $\mathrm{C}$ を含む辺」。 対応関係を、同じ側の文字どうしで覚えるのがコツだ。

$$\mathrm{BD}:\mathrm{DC}=6:4=3:2$$

比を逆にしないこと。 $\mathrm{B}$ のそばの $\mathrm{BD}$ には、$\mathrm{B}$ を含む辺 $\mathrm{AB}=6$ が対応する。

(2)は、$\mathrm{BC}=5$ を $3:2$ に分けるだけ。

$$\mathrm{BD}=5\times \frac{3}{3+2}=3$$

(1) $\mathrm{AB}=6$、$\mathrm{AC}=4$ なので

$$\mathrm{BD}:\mathrm{DC}=\mathrm{AB}:\mathrm{AC}=6:4=3:2$$

(2) $\mathrm{BC}=5$ を、$3:2$ に分けた「$3$ のほう」が $\mathrm{BD}$ だ。全体を $3+2=5$ 個分と考えると、$\mathrm{BD}$ はそのうち $3$ 個分。

$$\mathrm{BD}=5\times \frac{3}{3+2}=5\times \frac{3}{5}=3$$

発展 — 一歩先へ。 面積比で証明した経験は、そのままチェバの定理へつながる。

チェバの定理($3$ 本の線が $1$ 点で交わる条件)

$$\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{DC}}\cdot \frac{\mathrm{CE}}{\mathrm{EA}}\cdot \frac{\mathrm{AF}}{\mathrm{FB}}=1$$

も、面積比を $3$ 回使うだけで証明できる。「頂点を共有する $2$ 三角形の面積比 $=$ 底辺の比」を、$3$ つの辺で繰り返すのだ。

この単元の定理は、ほとんどが「面積比」か「相似」に還元できる。

• 角の二等分線と辺の比 → 面積比
• チェバの定理 → 面積比
• メネラウスの定理 → 相似(または面積比)
• 方べきの定理 → 相似
• 中点連結定理 → 相似

バラバラな定理を暗記するのではなく、$2$ つの道具(面積比と相似)に還元して理解する。 そうすれば、忘れてもその場で作り直せるし、見たことのない問題にも手が出る。

幾何の定理は、覚えるものではなく、導けるようになるものである。

別解

この定理は、面積を $2$ 通りに表すだけで証明できる。 証明が分かれば、比の向きを二度と間違えない。

$△\mathrm{ABD}$ と $△\mathrm{ACD}$ の面積比を、$2$ つの方法で計算する。

方法1: 底辺を $\mathrm{BD}$、$\mathrm{DC}$ と見る。

この $2$ つの三角形は、頂点 $\mathrm{A}$ を共有している。だから $\mathrm{BC}$ を底辺と見たときの高さが同じ($\mathrm{A}$ から直線 $\mathrm{BC}$ に下ろした垂線の長さ)。

高さが同じなら、面積比は底辺の比。

$$△\mathrm{ABD}:△\mathrm{ACD}=\mathrm{BD}:\mathrm{DC}$$

方法2: $\angle \mathrm{A}$ をはさむ $2$ 辺で計算する。

$\mathrm{AD}$ は $\angle \mathrm{A}$ の二等分線だから、$\angle \mathrm{BAD}=\angle \mathrm{DAC}$(この角を $\theta$ とする)。面積公式($\frac{1}{2}\times 2\text{辺}\times \sin$)を使うと

$$△\mathrm{ABD}=\frac{1}{2}\cdot \mathrm{AB}\cdot \mathrm{AD}\cdot \sin \theta ,△\mathrm{ACD}=\frac{1}{2}\cdot \mathrm{AC}\cdot \mathrm{AD}\cdot \sin \theta$$

$\mathrm{AD}$ も $\sin \theta$ も共通なので、約分して

$$△\mathrm{ABD}:△\mathrm{ACD}=\mathrm{AB}:\mathrm{AC}$$

$2$ つの方法で、同じ面積比を計算した。だから

$$\mathrm{BD}:\mathrm{DC}=\mathrm{AB}:\mathrm{AC}$$

定理が証明された。 $6:4=3:2$ という比の向きも、この証明を追えば自然に決まる — $△\mathrm{ABD}$ の側には、$\mathrm{BD}$ と $\mathrm{AB}$ が両方入っているからだ。

「同じ量を $2$ 通りに表して等式を作る」 — これは図形問題の最強の手筋のひとつである。面積を $2$ 通りに書く、長さを $2$ 通りに書く、角を $2$ 通りに書く。$1$ つのものに、$2$ つの顔を見つけたら、そこに等式が生まれる。

外角の二等分線でも似た定理が成り立つ。 $\angle \mathrm{A}$ の外角の二等分線が直線 $\mathrm{BC}$ と交わる点を $\mathrm{E}$ とすると

$$\mathrm{BE}:\mathrm{EC}=\mathrm{AB}:\mathrm{AC}$$

(ただし $\mathrm{E}$ は線分 $\mathrm{BC}$ の外側にある — 外分点だ。) 内角の二等分線が内分し、外角の二等分線が外分する。内と外が、美しく対応している — この $2$ 点を直径の両端とする円が、次に学ぶアポロニウスの円になる。