正四面体の高さと体積

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 正四面体の高さは、空間の観察から始まる。頂点の真下は、底面の正三角形の重心にくる。

重心から頂点までの距離(底面の外接円の半径)を出す。すると高さは、鉛直の直角三角形で三平方から立ち上がる。

立体を「底面内の平面計算」と「鉛直の直角三角形」に分解する。これが空間図形の発想だ。

(1) 頂点 $\mathrm{A}$ の真下は、底面の正三角形 $\mathrm{BCD}$ の重心 $\mathrm{G}$。

正三角形 $\mathrm{BCD}$(1辺 $6$)の重心から頂点 $\mathrm{B}$ までの長さ $\mathrm{BG}$ は、外接円の半径にあたる。1辺 $6$ の正三角形の外接円の半径は

$$\mathrm{BG}=\frac{6}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}$$

直角三角形 $\mathrm{ABG}$(直角は $\mathrm{G}$)で考える。$\mathrm{AB}=6$、$\mathrm{BG}=2\sqrt{3}$、$\mathrm{G}$ が直角だ。

三平方の定理で高さ $\mathrm{AG}$ は

$$\mathrm{AG}=\sqrt{{\mathrm{AB}}^2-{\mathrm{BG}}^2}=\sqrt{36-12}=\sqrt{24}=2\sqrt{6}$$

(2) 底面 $\mathrm{BCD}$(1辺 $6$ の正三角形)の面積は

$$\frac{\sqrt{3}}{4}\times 6^2=9\sqrt{3}$$

体積は $\frac{1}{3}\times$ 底面積 $\times$ 高さ。

$$V=\frac{1}{3}\times 9\sqrt{3}\times 2\sqrt{6}=6\sqrt{18}=6\times 3\sqrt{2}=18\sqrt{2}$$

発展 — 一歩先へ。 正四面体には外接球と内接球がある。$1$ 辺 $a$ のとき外接球の半径は $R=\frac{\sqrt{6}}{4}a$、内接球の半径は $\rho =\frac{\sqrt{6}}{12}a$ で、ちょうど $R=3\rho$ の関係にある。

$2$ つの球の中心は同じ点(重心)で、この点は頂点から底面へ下ろした高さを $3:1$ に分ける。実際 $R+\rho =\frac{\sqrt{6}}{4}a+\frac{\sqrt{6}}{12}a=\frac{\sqrt{6}}{3}a$ で、高さそのものに一致する。本問の $a=6$ なら高さ $2\sqrt{6}$、外接球 $\frac{3\sqrt{6}}{2}$、内接球 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ だ。

別解

別解 — 立方体に埋め込んで体積を出す(得意な人向けの高い視点)。 正四面体は、立方体の $8$ 頂点から $1$ つおきに $4$ 頂点を選ぶと現れる。正四面体の辺は、立方体の面の対角線にあたる。

立方体の $1$ 辺を $s$ とすると面の対角線は $\sqrt{2}s$。これが正四面体の辺 $6$ に等しいから $s=\frac{6}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}$。立方体の体積は $s^3=(3\sqrt{2}{)}^3=54\sqrt{2}$。

立方体から、正四面体に属さない $4$ つの隅を切り落とす。各隅は $3$ 辺が直交する三角錐で、体積は $\frac{1}{6}{s}^3=9\sqrt{2}$。$4$ つで $36\sqrt{2}$。よって

$$V=54\sqrt{2}-36\sqrt{2}=18\sqrt{2}.$$

高さは体積から逆算できる。$V=\frac{1}{3}\times (\text{底面積})\times h$ に底面積 $9\sqrt{3}$ を入れて、$h=\frac{3V}{9\sqrt{3}}=\frac{54\sqrt{2}}{9\sqrt{3}}=2\sqrt{6}$。三平方を使わずに体積が出て、本解と同じ $18\sqrt{2}$、$2\sqrt{6}$ に着く。