数学A / 図形の性質

平行線と線分の比

★★ 標準平行線と比

問題

3本の平行な直線 $ℓ$ 、 $m$ 、 $n$ に、2本の直線が交わっている。1本目の直線上では、上から順に長さ $3$ 、 $4$ に分けられ、2本目の直線上では上の部分が $6$ である。

平行線 ℓ・m・n は横断線を同じ比 3:4 に切る

2本目の直線の下の部分 $EF$ の長さを求めよ。

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平行線が横切る直線を切るとき、切られた部分の比はどの横断線でも同じになる。1本目でできた比を、2本目の $6 : EF$ と等しいとおいてみよう。

解答・解説

平行な直線は、それを横切る直線を「同じ比」で切る。だから1本目でできた比 $3 : 4$ が、2本目にもそのまま当てはまる。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 平行な直線たちは、横切る直線を「同じ比」で切る。これがこの図のすべてだ。

1本目の直線でできた比は $3 : 4$ 。この比が、2本目の直線にもそのまま写る。

上が $6$ なら、 $6 : EF = 3 : 4$ 。比例式を解いて $EF = 8$ となる。

定理平行線と線分の比:平行な直線は、2本の横断線を同じ比に切る

1本目の直線でできた比は $3 : 4$ 。平行線はどの横断線も同じ比で切るので、2本目の直線でも上下の比は $3 : 4$ 。

$6 : EF = 3 : 4$

比の式を分数にして

$\frac{6}{EF} = \frac{3}{4}$

たすきにかけて $3 EF = 6 \times 4 = 24$ 。よって

$EF = 8$

発展 — 一歩先へ。 「平行線が比を保つ」は、三角形の中では「辺に平行な直線が他の2辺を同じ比で切る」という形になり、中点連結定理( $1 : 1$ の特別な場合)もここから出る。

この先の内分・外分、チェバ・メネラウスの定理まで、この単元の道具はすべて「比を図形の中でどう運ぶか」の技術だ。出発点のこの1問が、その原理のいちばん純粋な形である。

答

$EF = 8$

「倍率」で読むと、比例式を立てるまでもない。

2本目の上の部分 $6$ は、1本目の上の部分 $3$ のちょうど $2$ 倍だ。

平行線で切られる限り、上下の伸び方は共通の倍率で決まる。だから下の部分も $2$ 倍で、 $EF = 4 \times 2 = 8$ 。

「対応する部分どうしの倍率は全部同じ」という見方は、相似の考え方そのものだ。比例式( $6 : EF = 3 : 4$ )と倍率( $\times 2$ )は同じ内容の2つの書き方で、数がきれいなときは倍率のほうが速い。