数学A / 図形の性質

円に内接する四角形の対角線(トレミーの定理)

実戦編図形の性質内接四角形円周角相似トレミー単元横断

問題

円に内接する四角形 $ABCD$ について、 $AC \cdot BD = AB \cdot CD + AD \cdot BC$ が成り立つことを示せ(トレミーの定理)。

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$AC$ 上に $∠ ABE = ∠ DBC$ の点 $E$ 。円周角( $∠ BAC = ∠ BDC$ )で $△ ABE \sim △ DBC$ 。もう $1$ 組の相似も作り、 $AE + EC = AC$ 。

解答・解説

方針

対角線 $AC$ 上に補助点 $E$ を、 $∠ ABE = ∠ DBC$ となるようにとる。円周角の等しさから $2$ 組の相似を作り、 $AE \cdot BD$ と $EC \cdot BD$ を辺の積で表して足す。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 右辺は「積の和」。1組の相似からは積が1つしか出ないから、対角線 $AC$ を2つの線分に割り、それぞれを別の相似に担当させる作戦を立てる。

そのための補助点が $E$ 。対角線 $AC$ 上に $∠ ABE = ∠ DBC$ となるようにとる。角を「こちらから等しく作る」ことで、円周角の等しさと合わせて相似が2組生まれる。

$AE \cdot BD$ と $EC \cdot BD$ がそれぞれ辺の積で書け、足せば $AC \cdot BD$ が右辺の和になる。

定理同じ弧の円周角は等しい(

∠ BAC = ∠ BDC

など)

円に内接する四角形 ABCD と対角線。補助点 E で AC=AE+EC に分けて2組の相似を作る。

① 補助点 $E$ 。 対角線 $AC$ 上に、 $∠ ABE = ∠ DBC$ となる点 $E$ をとる。

② $1$ 組目の相似。 $△ ABE$ と $△ DBC$ : $∠ ABE = ∠ DBC$ (作り方)、 $∠ BAE = ∠ BAC = ∠ BDC$ (弧 $BC$ の円周角)。 $2$ 角が等しく $△ ABE \sim △ DBC$ 。よって $\frac{AE}{DC} = \frac{AB}{DB}$ 、すなわち $AE \cdot BD = AB \cdot CD . (*)$ ③ $2$ 組目の相似。 $∠ ABE = ∠ DBC$ より $∠ ABD = ∠ EBC$ (両方に $∠ EBD$ を足した)。また $∠ ADB = ∠ ACB$ (弧 $AB$ の円周角)。よって $△ ABD \sim △ EBC$ 、 $\frac{EC}{AD} = \frac{BC}{BD}$ 、すなわち $EC \cdot BD = AD \cdot BC . (* *)$ ④ 足す。 $AE + EC = AC$ なので $(*) + (* *)$ より $AC \cdot BD = (AE + EC) BD = AB \cdot CD + AD \cdot BC .$

まとめ 対角線を補助点 $E$ で分け、円周角から $2$ 組の相似を作って $AE \cdot BD, EC \cdot BD$ を辺の積にし、足して $AC \cdot BD = AB \cdot CD + AD \cdot BC$ 。内接四角形・円周角(相似)の融合。補助点で和に分けるのが核心。

発展 — 一歩先へ。 長方形に使うと、対角線どうしの積 $=$ 縦 $^{2} +$ 横 $^{2}$ 、つまり三平方の定理が出る。また正三角形 $ABC$ の外接円の弧 $BC$ 上の点 $P$ では $PA = PB + PC$ という等式が一撃で出る。名だたる定理を特別な場合として含む、懐の深い定理だ。

答

対角線 $AC$ 上に $∠ ABE = ∠ DBC$ となる点 $E$ をとる。円周角で $△ ABE \sim △ DBC$ 、 $△ ABD \sim △ EBC$ 。 $AE \cdot BD = AB \cdot CD$ 、 $EC \cdot BD = AD \cdot BC$ 。足して $AC \cdot BD = AB \cdot CD + AD \cdot BC$ 。

別解

別解 — 弧に置き換え、積和公式で示す(得意な人向けの高い視点)。 円の半径を $R$ 、弧 $AB, BC, CD, DA$ の中心角を $2 α, 2 β, 2 γ, 2 δ$ とする( $α + β + γ + δ = π$ )。

弦の長さの公式で、すべての辺と対角線が $sin$ になる。 $AB = 2 R sin α$ 、 $BC = 2 R sin β$ 、 $CD = 2 R sin γ$ 、 $DA = 2 R sin δ$ 、 $AC = 2 R sin (α + β)$ 、 $BD = 2 R sin (β + γ)$ 。

示すべき式は $4 R^{2}$ で割ると

$sin (α + β) sin (β + γ) = sin α sin γ + sin β sin δ .$

積和公式 $sin x sin y = \frac{1}{2} {cos (x - y) - cos (x + y)}$ で両辺を開く。左辺は $\frac{1}{2} {cos (α - γ) - cos (α + 2 β + γ)}$ 。右辺も $δ = π - α - β - γ$ に注意して開くと、同じ2項に一致する。

補助点の妙手(本解)に対し、こちらは数IIの積和公式への翻訳。幾何の定理が三角関数の恒等式と同じものだったと分かる。

ポイント

右辺が和 → 対角線を補助点 $E$ で $AE + EC$ に分ける。
円周角で $2$ 組の相似 $△ ABE \sim △ DBC$ 、 $△ ABD \sim △ EBC$ 。
$(*) + (* *)$ で $AC \cdot BD = AB \cdot CD + AD \cdot BC$ 。

よくある間違い

「円に内接する」の仮定を忘れて一般の四角形に使う(一般には $AC \cdot BD \leq AB \cdot CD + AD \cdot BC$ の不等式になる)。
補助点 $E$ を「とる」だけで、 $∠ ABE = ∠ DBC$ という取り方の意図を書かず、相似の角の対応が示せない。
2組目の相似 $△ ABD \sim △ EBC$ で、はさむ角が等しいこと( $∠ ABD = ∠ EBC$ 、同じ角を共通に足した)の確認を飛ばす。