内角・外角の二等分線

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 内角の二等分線は、向かいの辺を $\mathrm{AB}:\mathrm{AC}$ に内分する。外角の二等分線は、同じ比で外分する。

比はどちらも $6:4=3:2$。$\mathrm{D}$ は $\mathrm{BC}$ を $3:2$ に内分、$\mathrm{E}$ は $3:2$ に外分する点だ。

あとは $\mathrm{D}$ と $\mathrm{E}$ の位置を確定して、距離をとる。外分点は辺の外(今回は $\mathrm{C}$ の先)に出ることを、図でも確認しておく。

$\mathrm{AB}:\mathrm{AC}=6:4=3:2$。数直線で $\mathrm{B}=0$、$\mathrm{C}=5$ とおく。

内分点 $\mathrm{D}$:$\mathrm{BD}:\mathrm{DC}=3:2$ なので

$$\mathrm{BD}=5\times \frac{3}{5}=3\Rightarrow \mathrm{D}=3$$

外分点 $\mathrm{E}$:$\mathrm{BE}:\mathrm{EC}=3:2$ で $\mathrm{E}$ は $\mathrm{C}$ の外側。$\mathrm{E}=x$ とおくと $x:(x-5)=3:2$。

$$2x=3(x-5)=3x-15\Rightarrow x=15$$

よって $\mathrm{E}=15$。

差をとる:

$$\mathrm{DE}=15-3=12$$

発展 — 一歩先へ。 内角と外角の二等分線は、実は直交する($\angle \mathrm{DAE}=90^{\circ }$)。内角の半分と外角の半分を足すと、ちょうど $180^{\circ }÷2=90^{\circ }$ になるからだ。つまり $\mathrm{D}$、$\mathrm{E}$ は「直角を見込む2点」で、$\mathrm{A}$ は $\mathrm{DE}$ を直径とする円の上に乗っている。

この円はアポロニウスの円と呼ばれ、「2定点からの距離の比が一定の点の軌跡」として数学IIの軌跡の単元で再登場する。

別解

内分・外分の扱いに不安があるなら、直線 $\mathrm{BC}$ に「数直線」を敷いてしまうのが確実だ。

$\mathrm{B}$ を $0$、$\mathrm{C}$ を $5$ とする。

$\mathrm{D}$ は $3:2$ の内分点だから、$0$ から $5$ までを $3:2$ で分けて、座標 $3$。

$\mathrm{E}$ は $3:2$ の外分点。外分の公式で $\frac{3\times 5-2\times 0}{3-2}=15$。

$$\mathrm{DE}=15-3=12$$

数直線に乗せると、内分も外分も「座標の計算」という同じ土俵になり、$\mathrm{E}$ が $\mathrm{C}$($=5$)のはるか先に出ることも数字で見える。図の直感と座標の計算、両方で確かめられれば盤石だ。