チェバの定理と長さ

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 3本の線が1点で交わっている。この配置を見たら、チェバの定理が第一候補だ。

頂点から出発して三角形を一周する向きで、3つの比を掛けると $1$ になる。

$$\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{DC}}\cdot \frac{\mathrm{CE}}{\mathrm{EA}}\cdot \frac{\mathrm{AF}}{\mathrm{FB}}=1$$

分かっている2つの比を入れれば、残りの $\mathrm{AF}:\mathrm{FB}$ が逆算できる。(2)は比が出たあとの配分の計算だ。

(1) 値を入れる。

$$\frac{2}{3}\cdot \frac{4}{1}\cdot \frac{\mathrm{AF}}{\mathrm{FB}}=1$$

数の部分は $\frac{2}{3}\cdot \frac{4}{1}=\frac{8}{3}$ なので

$$\frac{8}{3}\cdot \frac{\mathrm{AF}}{\mathrm{FB}}=1\Rightarrow \frac{\mathrm{AF}}{\mathrm{FB}}=\frac{3}{8}$$

よって $\mathrm{AF}:\mathrm{FB}=3:8$。

(2) $\mathrm{AB}=11$ を $3:8$ に分けた「$3$ のほう」が $\mathrm{AF}$。合計は $3+8=11$ 個分。

$$\mathrm{AF}=11\times \frac{3}{11}=3$$

発展 — 一歩先へ。 別解の面積比 $x:y:z$ は、交点 $\mathrm{P}$ の「重心座標」と呼ばれるものの正体だ。3つの数の組が三角形内の点の位置を完全に決める、という見方は、数学Cのベクトル(点の存在範囲)で本格化する。

チェバの定理の逆(積が1なら3本は1点で交わる)は、三角形の五心の存在証明(3本の中線・角の二等分線が本当に1点で交わること)に使われる。定理と逆定理のセットで持っておきたい。

別解

チェバの定理を使わず、「面積比」で直接解くこともできる。定理の中身を素手でなぞる道だ。

交点を $\mathrm{P}$ とし、3つの小三角形の面積を $x=[\mathrm{APB}]$、$y=[\mathrm{APC}]$、$z=[\mathrm{BPC}]$ とおく。

底辺の比は、同じ頂点を持つ三角形の面積比になる。

• $\mathrm{BD}:\mathrm{DC}=x:y=2:3$($\mathrm{AP}$ を共有する2三角形)
• $\mathrm{CE}:\mathrm{EA}=z:x=4:1$($\mathrm{BP}$ を共有)

$x$ を基準にすると $y=\frac{3}{2}x$、$z=4x$。求める比は

$$\mathrm{AF}:\mathrm{FB}=y:z=\frac{3}{2}x:4x=3:8$$

チェバの「積が1」は、この3つの面積比を掛けると $x,y,z$ が全部約分される、という仕組みだったと分かる。定理を忘れても面積比で必ず復元できる。