接弦定理

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 接線と弦が作る角 — この形を見たら接弦定理だ。

$$(\text{接線と弦のなす角})=(\text{その弦が作る、反対側の弧の円周角})$$

$$\angle \mathrm{TBA}=65^{\circ }$$

「接線と弦の角」と「反対側の円周角」が、そのまま等しい。 $2$ 倍にも半分にもしない — 同じ値である。

急所は「反対側」の意味だ。 接線と弦のなす角が $65^{\circ }$ のとき、その角がにらんでいる弧(角の内側にある弧)がある。円周角を測る点 $\mathrm{B}$ は、その弧の反対側にいなければならない。

図で、角の内側にどちらの弧があるかを確かめる — これが接弦定理を使うときの唯一の注意点である。

接線 $\ell$ と弦 $\mathrm{TA}$ のなす角は、弦 $\mathrm{TA}$ を反対側の弧から見た円周角 $\angle \mathrm{TBA}$ と等しい。

よって

$$\angle \mathrm{TBA}=65^{\circ }$$

発展 — 一歩先へ。 接弦定理も、逆が成り立つ。

$$\angle (\ell ,\mathrm{TA})=\angle \mathrm{TBA}⟹\ell \text{は円の接線}$$

「ある直線が円に接することを証明せよ」という問題が、角度が等しいことを示す問題に変わる。

円がらみの定理は、そろって「逆」が使える。

「順」は計算に、「逆」は証明に使う。 入試の証明問題で「共円を示せ」「接線であることを示せ」と問われたら、これらの逆を思い出す。

定理を学んだら、必ず「逆は成り立つか?」と問う習慣をつけたい。成り立つなら道具が $2$ 倍になり、成り立たないなら(その反例を知ることで)理解が深まる。

数学の定理は、両刃の剣である。 片側だけ研いでいては、もったいない。

別解

接弦定理は、円周角の定理の"極限"として理解できる。 そう見ると、なぜ「そのまま等しい」のかが腑に落ちる。

証明: 直径を引いて、直角を作る。

点 $\mathrm{T}$ で接線 $\ell$ が引かれている。接線は、接点を通る半径と垂直である。

$$\ell \perp \mathrm{OT}$$

$\mathrm{T}$ を通る直径 $\mathrm{TC}$ を引く($\mathrm{C}$ は円周上の反対側の点)。

$\angle \mathrm{TAC}$ は直径 $\mathrm{TC}$ に対する円周角なので、$90^{\circ }$(タレスの定理)。

$$\angle \mathrm{TAC}=90^{\circ }$$

$△\mathrm{TAC}$ の内角の和から

$$\angle \mathrm{ATC}=90^{\circ }-\angle \mathrm{ACT}$$

一方、接線と弦のなす角は

$$\angle (\ell ,\mathrm{TA})=90^{\circ }-\angle \mathrm{ATC}=90^{\circ }-(90^{\circ }-\angle \mathrm{ACT})=\angle \mathrm{ACT}$$

($\ell \perp \mathrm{TC}$ だから、$\angle (\ell ,\mathrm{TA})$ と $\angle \mathrm{ATC}$ を足すと $90^{\circ }$。)

$\angle \mathrm{ACT}$ は弦 $\mathrm{TA}$ に対する円周角。 そして $\angle \mathrm{TBA}$ も同じ弧に対する円周角だから等しい。

$$\angle (\ell ,\mathrm{TA})=\angle \mathrm{TBA}=65^{\circ }✓$$

「接線 $\perp$ 半径」と「直径の円周角は $90^{\circ }$」の $2$ つだけで証明できた。

そして、もっと直感的な見方がある。接弦定理は「円周角の定理の極限」だ。

円周上に $2$ 点 $\mathrm{T}$、$\mathrm{S}$ を取り、弦 $\mathrm{TS}$ を引く。円周角の定理より、$\angle \mathrm{STA}$(弦 $\mathrm{TS}$ と弦 $\mathrm{TA}$ のなす角)は $\dots$ ここで $\mathrm{S}$ を $\mathrm{T}$ に限りなく近づける。

すると、弦 $\mathrm{TS}$ は接線 $\ell$ に近づいていく。(円に $2$ 点で交わる直線が、$2$ 点が重なる瞬間に接線になる。)

接線とは、$2$ つの交点が重なった割線 — その極限で、円周角の定理がそのまま接弦定理に化けるのだ。

「$2$ 点を近づけて $1$ 点にする」という発想は、数IIIで学ぶ微分の心臓部でもある($2$ 点を通る直線の極限が接線)。幾何の接線と、微分の接線は、まったく同じ考え方でできている。

接弦定理の使いどころ。 接線が出てきたら、接弦定理で「角を円の中へ運び込む」。円の外にある角(接線がらみの角)を、円の内側の円周角に翻訳できる — それだけで、問題が解ける形に変わることが多い。