数学A / 図形の性質

内接円と外接円の半径

★★★ 応用内接円外接円面積

問題

$△ ABC$ で $AB = AC = 5$ 、 $BC = 6$ とする。

二等辺三角形の内接円(r)と外接円(R)

(1) 面積 $S$ を求めよ。

(2) 内接円の半径 $r$ を求めよ。

(3) 外接円の半径 $R$ を求めよ。

ヒントを見る

(1) 二等辺なので、頂点から $BC$ に下ろした高さで面積が出る。(2)(3) 面積 $S$ を使う公式 $S = r s$ と $S = \frac{ab c}{4 R}$ に、求めた $S$ を入れる。 $s$ は周の半分。

解答・解説

方針

面積は二等辺なので高さを出せばよい。内接円は $S = r s$ ( $s$ は周の半分)、外接円は $S = \frac{ab c}{4 R}$ という、面積を橋わたしにした公式でつなぐ。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 内接円・外接円の半径は、どちらも面積を橋渡しにして出せる。内接円は $S = r s$ 、外接円は $S = \frac{ab c}{4 R}$ という関係だ。

まず面積 $S$ を出す。それを介して $r$ と $R$ を釣り上げる。

この共通ルートを見抜けば、 $2$ つの半径が同じ $S$ から芋づる式に出る。

公式面積と半径:

S = r s

(

s

は周の半分)、

S = \frac{ab c}{4 R}

(1) 二等辺三角形なので、頂点 $A$ から $BC$ の中点に下ろした線が高さになる。 $BC$ の半分は $3$ だから、高さは

$h = 5^{2} - 3^{2} = 16 = 4$

$S = \frac{1}{2} \times 6 \times 4 = 12$

(2) 周の半分は $s = \frac{5 + 5 + 6}{2} = 8$ 。 $S = r s$ に入れて

$12 = r \times 8 \Rightarrow r = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$

(3) $S = \frac{ab c}{4 R}$ に $a = 6$ 、 $b = c = 5$ 、 $S = 12$ を入れる。

$12 = \frac{5 \times 5 \times 6}{4 R} = \frac{150}{4 R}$

$4 R \times 12 = 150 \Rightarrow R = \frac{150}{48} = \frac{25}{8}$

発展 — 一歩先へ。 $S = r s$ と $S = \frac{ab c}{4 R}$ は、内接円と外接円をどちらも面積で結ぶ。この $2$ つを組み合わせると、外心 $O$ と内心 $I$ の距離について $OI^{2} = R^{2} - 2 R r$ (オイラーの定理)が導ける。

ここから $R \geq 2 r$ (オイラーの不等式)が従う。等号は正三角形のときだけだ。本問では $R = \frac{25}{8}$ 、 $r = \frac{3}{2}$ で、 $R$ は $2 r = 3$ をわずかに超える。 $OI^{2} = \frac{25}{64}$ となり、外心と内心は $\frac{5}{8}$ だけ離れている。

答

(1) $S = 12$ (2) $r = \frac{3}{2}$ (3) $R = \frac{25}{8}$

別解

別解 — 三角比でまとめて出す(得意な人向けの視点)。 頂角 $A$ の余弦を余弦定理で求める。

$cos A = \frac{5 ^{2} + 5 ^{2} - 6 ^{2}}{2 \cdot 5 \cdot 5} = \frac{14}{50} = \frac{7}{25}, sin A = 1 - (\frac{7}{25})^{2} = \frac{24}{25} .$

面積は $2$ 辺と間の角から。 $S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot sin A = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 5 \cdot \frac{24}{25} = 12$ 。

外接円は正弦定理から。 $\frac{BC}{sin A} = 2 R$ より $2 R = \frac{6}{24/25} = \frac{25}{4}$ 、 $R = \frac{25}{8}$ 。

内接円は、頂点 $A$ からの接線の長さ $s - a = 8 - 6 = 2$ と半角の関係を使う。接点・ $A$ ・内心が作る直角三角形から $r = (s - a) tan \frac{A}{2}$ で、 $tan \frac{A}{2} = \frac{sin A}{1 + cos A} = \frac{24/25}{32/25} = \frac{3}{4}$ だから $r = 2 \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{2}$ 。

面積の橋渡し公式を経由せず、三角比だけで本解と同じ $S = 12$ 、 $R = \frac{25}{8}$ 、 $r = \frac{3}{2}$ に着く。

ポイント

面積を先に出すと、 $r$ も $R$ も面積の公式一発で出る。
$S = r s$ の $s$ は周の半分。 $S = \frac{ab c}{4 R}$ の分子は3辺の積。

よくある間違い

$S = r s$ の $s$ を「周の長さ」そのものとする(正しくは周の半分 $s = \frac{5 + 5 + 6}{2} = 8$ )。
外接円の公式 $S = \frac{ab c}{4 R}$ の分子を $2$ 辺の積などと取りちがえる(分子は $3$ 辺の積 $ab c$ )。
二等辺の頂点から下ろす足が $BC$ の中点になることを使わず、高さの直角三角形の底辺を $6$ のまま誤る。