弧の比と円に内接する四角形の内角

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 弧の比が与えられている。円周角は「見込む弧(の中心角)の半分」だから、まず弧を角度に直す。

円全体 $360°$ を $1+2+3+4=10$ 等分するので、$1$ 目盛り $36°$。弧 $\mathrm{AB},\mathrm{BC},\mathrm{CD},\mathrm{DA}$ の中心角は $36°,72°,108°,144°$。

四角形の頂点の内角は、その頂点から向かい側を見込む円周角。たとえば $\angle \mathrm{A}(=\angle \mathrm{BAD})$ は、$\mathrm{A}$ を含まない弧 $\mathrm{BCD}$ に対する円周角で、弧 $\mathrm{BC}+\mathrm{CD}$ の中心角の半分。順に計算する。

① $1$ 目盛りの角。 円周 $360°$ を $1+2+3+4=10$ で割ると、弧 $1$ あたりの中心角は $36°$。

② 各内角を弧に翻訳する。 頂点の内角は、その頂点を含まない側の弧に対する円周角(=中心角の半分)。

• $\angle \mathrm{A}$:弧 $\mathrm{BCD}$(=$\mathrm{BC}+\mathrm{CD}=2+3=5$ 目盛り)を見込む。中心角 $5\times 36°=180°$、円周角はその半分で $90°$。
• $\angle \mathrm{B}$:弧 $\mathrm{CDA}$(=$3+4=7$ 目盛り)。$7\times 36°=252°$、半分で $126°$。
• $\angle \mathrm{C}$:弧 $\mathrm{DAB}$(=$4+1=5$ 目盛り)。半分で $90°$。
• $\angle \mathrm{D}$:弧 $\mathrm{ABC}$(=$1+2=3$ 目盛り)。$3\times 36°=108°$、半分で $54°$。

③ 検算。 向かい合う内角の和は $\angle \mathrm{A}+\angle \mathrm{C}=90+90=180°$、$\angle \mathrm{B}+\angle \mathrm{D}=126+54=180°$。円に内接する四角形の性質(対角の和 $180°$)と合う。

まとめ:弧の比の問題は「$360°$ を比で割って $1$ 目盛りの角」から。内角は「その頂点を含まない側の弧に対する円周角」に翻訳し、中心角の半分をとる。対角の和が $180°$ になることが検算に使える。

発展 — 一歩先へ。 「円に内接する四角形 $⟺$ 向かい合う内角の和 $180°$」は、円周角の定理の応用。逆に、この和が $180°$ でない四角形は円に内接しない。トレミーの定理(対角線の積 $=$ 対辺の積の和)も内接四角形の性質で、内接性の判定と辺・対角線の関係を結ぶ。弧の比から角がすべて決まるのは、円周角が弧で決まるからだ。

別解

別解 — 内接四角形の「向かい合う内角の和 $180°$」で検算しながら(苦手な人にも確実なルート)。 円に内接する四角形の重要な性質: 向かい合う内角の和は $180°$。これを軸に、$1$ つの角を出して残りを補う。

$1$ 目盛り $36°$。まず $\angle \mathrm{A}$。$\angle \mathrm{A}=\angle \mathrm{BAD}$ は、弧 $\mathrm{BCD}$(頂点 $\mathrm{A}$ を含まない側)に立つ円周角。この弧は $\mathrm{BC}+\mathrm{CD}=2+3=5$ 目盛り、中心角 $5\times 36°=180°$。円周角はその半分で $\angle \mathrm{A}=90°$。

同様に $\angle \mathrm{B}$ は弧 $\mathrm{CDA}=\mathrm{CD}+\mathrm{DA}=3+4=7$ 目盛りの半分 $126°$。$\angle \mathrm{C}$ は弧 $\mathrm{DAB}=4+1=5$ の半分 $90°$、$\angle \mathrm{D}$ は弧 $\mathrm{ABC}=1+2=3$ の半分 $54°$。

検算: $\angle \mathrm{A}+\angle \mathrm{C}=90°+90°=180°$、$\angle \mathrm{B}+\angle \mathrm{D}=126°+54°=180°$。両方 $180°$ で内接四角形の性質を満たす。「向かい合う角の和 $180°$」を使えば、$2$ つの角を計算して残り $2$ つを引き算で出せ、ミスも見つかる。