交わる2弦と方べき

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 方べきの定理から、積 $PC\cdot PD$ が分かる。弦の長さから、和 $PC+PD$ が分かる。

和と積が揃えば、$2$ 数は $2$ 次方程式の解として復元できる。

「和と積 → $2$ 次方程式」という対称式の定跡が、幾何の中に埋め込まれている構図だ。

まず積を出す。

$$\mathrm{PC}\cdot \mathrm{PD}=\mathrm{PA}\cdot \mathrm{PB}=6\times 4=24$$

$\mathrm{P}$ は弦 $\mathrm{CD}$ 上の点なので、和は

$$\mathrm{PC}+\mathrm{PD}=\mathrm{CD}=11$$

和 $11$、積 $24$ の2数が $\mathrm{PC}$、$\mathrm{PD}$。これらを解とする2次方程式は

$$t^2-11t+24=0$$

因数分解して

$$(t-3)(t-8)=0\Rightarrow t=3,8$$

まとめ:$\mathrm{PC}<\mathrm{PD}$ なので $\mathrm{PC}=3$、$\mathrm{PD}=8$。

発展 — 一歩先へ。 「和 $s$・積 $p$ の $2$ 数」は $t^2-st+p=0$ の解で、実数として存在するのは判別式 $s^2-4p\ge 0$、つまり $s\ge 2\sqrt{p}$ のときだ。これは相加平均・相乗平均の不等式そのものである。

本問は $s=11$、$p=24$ で、$11\ge 2\sqrt{24}\approx 9.8$ を満たしている。もし弦 $\mathrm{CD}$ がこれより短ければ、積が $24$ になる点 $\mathrm{P}$ は取れない。等号のときは $\mathrm{PC}=\mathrm{PD}$、つまり $\mathrm{P}$ が弦の中点になる。

別解

別解 — 積 $24$・和 $11$ の $2$ 数を探す(苦手な人向けの実験ルート)。 $2$ 次方程式を解く代わりに、条件に合う数の組を直接さがす。

方べきの定理から $\mathrm{PC}\cdot \mathrm{PD}=\mathrm{PA}\cdot \mathrm{PB}=24$。$\mathrm{P}$ は弦 $\mathrm{CD}$ 上だから $\mathrm{PC}+\mathrm{PD}=11$。

積が $24$ になる正の整数の組を書き出し、和が $11$ になるものを選ぶ。

• $1$ と $24$ … 和 $25$
• $2$ と $12$ … 和 $14$
• $3$ と $8$ … 和 $11$ (これ)
• $4$ と $6$ … 和 $10$

和が $11$ になるのは $3$ と $8$。$\mathrm{PC}<\mathrm{PD}$ だから $\mathrm{PC}=3$、$\mathrm{PD}=8$。公式を解かず、積と和の数さがしだけで本解と同じ答えに着く。