正八面体の体積と二面角

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 正八面体は「正方形を赤道面とする $2$ つの四角錐を貼り合わせた形」とみるのが急所。

(1) 頂点・辺・面を数える。頂点 $V=6$(上下の頂点 $+$ 赤道の $4$)、面 $F=8$(上下 $4$ 枚ずつの三角形)、辺 $E=12$。$V-E+F=6-12+8=2$ でオイラーの定理を確認。

(2) 体積は $2$ つの四角錐の和。赤道の正方形は $1$ 辺 $a$、面積 $a^2$。四角錐の高さは、正方形の対角線の半分 $\frac{a}{\sqrt{2}}$(三平方で頂点から赤道中心まで)。体積 $2\times \frac{1}{3}\times a^2\times \frac{a}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{3}{a}^3$。

① (1) $V,E,F$ を数える。 正八面体は、上下 $2$ 個の頂点と赤道の正方形の $4$ 個の頂点で $V=6$。面はすべて正三角形で、上の四角錐に $4$ 面・下に $4$ 面で $F=8$。辺は各三角形が $3$ 辺で $8\times 3=24$、$2$ 面で共有されるから $E=24÷2=12$。よって

$$V-E+F=6-12+8=2$$

とオイラーの定理を満たす。

② (2) 体積。 赤道の正方形は $1$ 辺 $a$ で、対角線の長さは $\sqrt{2}a$。上の頂点は正方形の中心の真上にあり、頂点から赤道の頂点までの辺の長さが $a$。中心から赤道の頂点までは対角線の半分 $\frac{\sqrt{2}}{2}a$ だから、四角錐の高さ $h$ は三平方で

$$h=\sqrt{a^2-{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}a\right)}^2}=\sqrt{a^2-\frac{a^2}{2}}=\frac{a}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}a$$

四角錐 $1$ 個の体積は $\frac{1}{3}\times a^2\times h$。正八面体はこれ $2$ 個ぶんだから

$$V_{\text{体積}}=2\times \frac{1}{3}\times a^2\times \frac{\sqrt{2}}{2}a=\frac{\sqrt{2}}{3}{a}^3$$

まとめ:正八面体は「$2$ つの四角錐の貼り合わせ」。赤道の正方形($1$ 辺 $a$)を底面に、高さを三平方で $\frac{\sqrt{2}}{2}a$ と出せば体積は $\frac{\sqrt{2}}{3}{a}^3$。オイラーの定理 $V-E+F=2$ は、辺を「$3\times$面数 $÷2$」で数えると確実。

発展 — 一歩先へ。 正八面体は $|x|+|y|+|z|\le t$ で表せる図形($3$ 次元の“正軸体”)。$n$ 次元では $|x_1|+\cdots +|x_n|\le t$ で、体積は $\frac{(2t{)}^n}{n!}$。オイラーの多面体定理 $V-E+F=2$ は正八面体($6-12+8$)でも正四面体($4-6+4$)でも成り立つ、多面体の普遍法則(位相不変量)だ。

別解

別解 — 座標に置いて体積を直接計算する(計算で確実なルート)。 正八面体を座標軸上に置く。$6$ 頂点を $(\pm t,0,0),(0,\pm t,0),(0,0,\pm t)$ とすると、隣り合う頂点(たとえば $(t,0,0)$ と $(0,t,0)$)の距離は $\sqrt{t^2+t^2}=t\sqrt{2}$。これが $1$ 辺 $a$ だから $t=\frac{a}{\sqrt{2}}$。

体積は、この八面体を $|x|+|y|+|z|\le t$ の領域とみて計算できる。あるいは、赤道面 $z=0$ の正方形(頂点 $(\pm t,0,0),(0,\pm t,0)$、対角線 $2t$、面積 $\frac{(2t{)}^2}{2}=2t^2$)を底面とする $2$ つの四角錐、高さ $t$。

$$V=2\times \frac{1}{3}\times 2t^2\times t=\frac{4}{3}{t}^3=\frac{4}{3}{\left(\frac{a}{\sqrt{2}}\right)}^3=\frac{4}{3}\cdot \frac{a^3}{2\sqrt{2}}=\frac{a^3}{3\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{6}{a}^3\cdot 2=\frac{\sqrt{2}}{3}{a}^3.$$

赤道を「$1$ 辺 $a$ の正方形」とみる本解と、「対角線 $2t$ の正方形」とみるこの解は、正方形の取り方が $45°$ 違うだけで同じ体積 $\frac{\sqrt{2}}{3}{a}^3$。座標に置くと、$|x|+|y|+|z|\le t$ という美しい式で八面体が書け、$n$ 次元の類似(正軸体)にも一般化できる。