メネラウスの定理と中線

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 求めたいのは中線 $\mathrm{AM}$ 上の比 $\mathrm{AP}:\mathrm{PM}$。直線 $\mathrm{BE}$ が三角形を横切ってこの比を作っている。

「三角形を直線が横切る」配置はメネラウスの定理の合図だ。

どの三角形に使うかが急所になる。求めたい線分 $\mathrm{AM}$ を辺に持つ $△\mathrm{AMC}$ を選び、横切る直線 $\mathrm{B}$-$\mathrm{P}$-$\mathrm{E}$ で一周すれば、$\mathrm{AP}:\mathrm{PM}$ が式に入る。

$△\mathrm{AMC}$ を直線 $\mathrm{BPE}$ が横切っている。頂点 $\mathrm{A}\to \mathrm{M}\to \mathrm{C}$ と一周して、分点の比をかける。

$$\frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{PM}}\cdot \frac{\mathrm{MB}}{\mathrm{BC}}\cdot \frac{\mathrm{CE}}{\mathrm{EA}}=1$$

それぞれ調べる。

$\mathrm{M}$ は $\mathrm{BC}$ の中点なので、$\mathrm{MB}=\frac{1}{2}\mathrm{BC}$、つまり $\frac{\mathrm{MB}}{\mathrm{BC}}=\frac{1}{2}$。

$\mathrm{AE}:\mathrm{EC}=2:1$ より $\frac{\mathrm{CE}}{\mathrm{EA}}=\frac{1}{2}$。

代入すると

$$\frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{PM}}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=1$$

$$\frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{PM}}\cdot \frac{1}{4}=1\Rightarrow \frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{PM}}=4$$

よって $\mathrm{AP}:\mathrm{PM}=4:1$。

発展 — 一歩先へ。 質量点の「おもり」の正体は、別の問題で使った面積比($x:y:z$)であり、数学Cで学ぶ位置ベクトルの係数でもある。$\mathrm{P}=\frac{1\cdot \vec{a}+2\cdot \vec{b}+2\cdot \vec{c}}{5}$ という式の分子のおもりが、そのまま今日の $1,2,2$ だ。

メネラウス・チェバ・質量点・ベクトルは、同じ「比の運搬」を別の記法でやっている。1つの問題を複数の記法で解き比べると、それぞれの得意場面が見えてくる。

別解

「てこの釣り合い」で解く、質量点という軽快な方法もある。頂点におもりを置き、分点を「釣り合いの支点」と読むのだ。

$\mathrm{E}$ は $\mathrm{AE}:\mathrm{EC}=2:1$ の点。てこが釣り合うには、腕の長い側を軽く。$\mathrm{A}$ に $1$、$\mathrm{C}$ に $2$ のおもりを置くと、支点はちょうど $\mathrm{E}$ に来る。

$\mathrm{M}$ は $\mathrm{BC}$ の中点だから、$\mathrm{B}$ と $\mathrm{C}$ は同じ重さ。$\mathrm{C}=2$ に合わせて $\mathrm{B}=2$ とする。

すると直線 $\mathrm{AM}$ の上では、$\mathrm{A}$ に $1$、$\mathrm{M}$ に $\mathrm{B}+\mathrm{C}=4$ が乗っている。全体の釣り合いの支点 $\mathrm{P}$ は、重いほう($\mathrm{M}$)に近い位置で

$$\mathrm{AP}:\mathrm{PM}=4:1$$

おもりの逆比で比が読める。メネラウスと同じ答えだ。おもちゃのようだが中身は厳密で、複数の比が絡む点ほど威力を増す。