外心と中心角

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 外心 $\mathrm{O}$ は外接円の中心だ。だから $\mathrm{A}$、$\mathrm{B}$、$\mathrm{C}$ は同じ円の上にある。

すると $\angle \mathrm{BAC}$ は、弧 $\mathrm{BC}$ に対する円周角。$\angle \mathrm{BOC}$ は、同じ弧に対する中心角である。

$$(\text{中心角})=2\times (\text{円周角})$$

$$\angle \mathrm{BOC}=2\times 40^{\circ }=80^{\circ }$$

「外心」という言葉に惑わされないこと。 外心 $=$ 外接円の中心と読みかえた瞬間に、円周角の定理の問題に変わる。

用語を定義に戻して読む — 図形の問題では、これが第一手になることが多い。

外心 $\mathrm{O}$ は外接円の中心だから、$\angle \mathrm{BOC}$ は弧 $\mathrm{BC}$ の中心角。そして $\angle \mathrm{BAC}$ は同じ弧 $\mathrm{BC}$ の円周角。

よって中心角は円周角の $2$ 倍。

$$\angle \mathrm{BOC}=2\times \angle \mathrm{BAC}=2\times 40^{\circ }=80^{\circ }$$

発展 — 一歩先へ。 外心と内心は、名前が似ているが役割がまったく違う。混同しないよう、性質を対にして整理しておきたい。

なぜ性質が対になるのか。

• 「$2$ 点から等距離の点の集まり」$=$ 垂直二等分線 → だから外心は $3$ 辺の垂直二等分線上
• 「$2$ 直線から等距離の点の集まり」$=$ 角の二等分線 → だから内心は $3$ 角の二等分線上

「点から等距離」なら垂直二等分線、「直線から等距離」なら角の二等分線。 この $2$ つの原理が、外心と内心を生んでいる。

丸暗記ではなく、"何から等距離か"で区別する。 外接円は $3$ 頂点(点)を通るのだから、中心は頂点から等距離 — 外心。内接円は $3$ 辺(直線)に接するのだから、中心は辺から等距離 — 内心。

言葉の意味を追えば、性質は思い出せる。 幾何の用語は、よくできている。

別解

「中心角は円周角の $2$ 倍」— なぜ $2$ 倍なのか。 二等辺三角形と外角だけで、その理由が見える。証明を知れば、公式を疑わずに使える。

カギは「半径はすべて等しい」こと。

$$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}(=\text{半径})$$

だから $△\mathrm{OAB}$ も $△\mathrm{OAC}$ も二等辺三角形。二等辺三角形の底角は等しい。

直線 $\mathrm{AO}$ を引いて、円と反対側で交わる点を $\mathrm{D}$ とする。 そして $\angle \mathrm{OAB}=\alpha$、$\angle \mathrm{OAC}=\beta$ と置く($\alpha +\beta =\angle \mathrm{BAC}=40^{\circ }$)。

$△\mathrm{OAB}$ を見る。 $\mathrm{OA}=\mathrm{OB}$ の二等辺三角形だから、底角も $\alpha$。

$$\angle \mathrm{OAB}=\angle \mathrm{OBA}=\alpha$$

三角形の外角は、隣り合わない $2$ つの内角の和だから

$$\angle \mathrm{BOD}=\alpha +\alpha =2\alpha$$

同じことを $△\mathrm{OAC}$ でやると

$$\angle \mathrm{COD}=\beta +\beta =2\beta$$

足す。

$$\angle \mathrm{BOC}=\angle \mathrm{BOD}+\angle \mathrm{COD}=2\alpha +2\beta =2(\alpha +\beta )=2\times 40^{\circ }=80^{\circ }$$

$2$ 倍の正体は、二等辺三角形の外角だった。 $\alpha$ が $2$ つ集まって $2\alpha$ になる — 円周角の定理の「$2$ 倍」は、ここから来ている。

この証明のありがたみは、$2$ つある。

$1$ つ目: 円周角がどこにあっても同じ理由が通る。 点 $\mathrm{A}$ を弧の上で動かしても、$\alpha$ と $\beta$ の値は変わるが、和 $\alpha +\beta$ は変わらない(中心角 $\angle \mathrm{BOC}$ が固定だから)。つまり同じ弧に対する円周角は、どこで測っても等しい — これも同時に証明されている。

$2$ つ目: 外心の特別な性質が見える。 外心が三角形の内部にあるとは限らない。$\angle \mathrm{A}$ が鈍角なら、外心は三角形の外側に出る(そのときは上の証明を少し修正する必要がある)。直角三角形なら、外心は斜辺の中点にぴったり乗る(斜辺が直径になる — タレスの定理)。

「外心はどこにいるか」で、三角形の形が分かる。

• 鋭角三角形 → 外心は内部
• 直角三角形 → 外心は斜辺の中点
• 鈍角三角形 → 外心は外部

図を描くとき、外心の位置は三角形の形が決める — 適当に真ん中へ置いてはいけない。