関数と極限 — 分数関数・無理関数・数列と関数の極限

分数関数 $y=\frac{1}{x-2}+3$ の漸近線を求めよ。

無理関数 $y=\sqrt{x+1}$ の定義域と値域を求めよ。

関数 $y=2x+3$ の逆関数を求めよ。

極限 $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{3n+1}{n+2}$ を求めよ。

極限 $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{2n^2-1}{n^2+n}$ を求めよ。

極限 $\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(\frac{1}{2}\right)}^n$ を求めよ。

無限等比級数 $1+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{1}{27}+\cdots$ の和を求めよ。

極限 $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x^2-4}{x-2}$ を求めよ。

極限 $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}$ を求めよ。

極限 $\underset{x\to \infty }{\lim }\left(1-\frac{1}{x}\right)$ を求めよ。

関数 $f(x)=x^2$ が $x=2$ で連続であることを、極限を用いて確かめよ。

極限 $\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{2x+1}{x-3}$ を求めよ。

極限 $\underset{n\to \infty }{\lim }\left(\sqrt{n^2+n}-n\right)$ を求めよ。

極限 $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{x+1}-1}{x}$ を求めよ。

無限等比級数 $\sum _{n=1}^{\infty }2{\left(\frac{1}{3}\right)}^{n-1}$ の和を求めよ。

循環小数 $0.\dot{3}=0.333\cdots$ を、無限等比級数を用いて分数で表せ。

極限 $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin 3x}{x}$ を求めよ。

極限 $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos x}{x^2}$ を求めよ。

極限 $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\sin n}{n}$ を求めよ。

極限 $\underset{x\to \infty }{\lim }\left(\sqrt{x^2+3x}-x\right)$ を求めよ。

無限級数 $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n(n+1)}$ の和を求めよ。

方程式 $x^3-x-1=0$ が $1<x<2$ の範囲に少なくとも $1$ つの実数解をもつことを、中間値の定理を用いて示せ。

極限 $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^3-1}{x-1}$ を求めよ。

無限等比級数 $1+r+r^2+r^3+\cdots$ が収束するような $r$ の範囲を求めよ。また、$r=\frac{2}{3}$ のときの和を求めよ。

極限 $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\tan x-\sin x}{x^3}$ を求めよ。

極限 $\underset{x\to \infty }{\lim }x\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)$ を求めよ。

無限級数 $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{n}{2^n}$ の和を求めよ。

極限 $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin 2x}{\sin 3x}$ を求めよ。

$1$ 辺 $1$ の正方形 $S_1$ の各辺の中点を結んで正方形 $S_2$ を作り、$S_2$ の各辺の中点を結んで $S_3$ を作る。この操作を限りなく続けるとき、すべての正方形の面積の総和を求めよ。

極限 $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1+2+3+\cdots +n}{n^2}$ を求めよ。

極限 $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{x}$ を求めよ。

$a_1=0$、$a_{n+1}=\frac{a_n+2}{2}$ で定まる数列 $\{a_n\}$ について、$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$ を求めよ。

極限 $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos 2x}{x\sin x}$ を求めよ。

無限級数 $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{2^n+3^n}{6^n}$ の和を求めよ。

極限 $\underset{n\to \infty }{\lim }\left(\sqrt{n^2+3n}-n\right)$ を求めよ。

極限 $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{2^n}{n!}$ を求めよ。

無限級数 $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n(n+2)}$ の和を求めよ。

$a_1=1$、$a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}$ で定まる数列 $\{a_n\}$ は、ある値に収束する。その極限値を求めよ(収束することは認めてよい)。

方程式 $x^3-3x+1=0$ は、$0<x<1$ の範囲に少なくとも $1$ つの実数解をもつことを示せ。

$x$ を実数とする。無限級数 $\sum _{n=0}^{\infty }x(1-x{)}^n$ が収束するような $x$ の値の範囲を求め、そのときの和を求めよ。

$\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{k=1}^n\frac{1}{n+k}$ を求めよ。

$\underset{n\to \infty }{\lim }{n}^2\left(1-\cos \frac{\pi }{n}\right)$ を求めよ。

$a_1=1,a_{n+1}=\frac{a_n}{1+a_n}$ で定まる数列について、一般項 $a_n$ を求め、$\underset{n\to \infty }{\lim }n{a}_n$ を求めよ。

無限級数 $\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{k(k+1)(k+2)}$ の和を求めよ。

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(\frac{n+1}{n-1}\right)}^n$ を求めよ。

$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n!}{n^n}$ を求めよ。

$a>0$ とする。$\underset{n\to \infty }{\lim }n\left(a^{\frac{1}{n}}-1\right)$ を求めよ。

$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{n-1}}{2n-1}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots$ の和を求めよ(収束は認めてよい)。

極限 $\underset{n\to \infty }{\lim }n\sin \left(2\pi \sqrt{n^2+1}\right)$ を求めよ。

極限 $\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(\cos \frac{1}{n}\right)}^{n^2}$ を求めよ。

$a>0,b>0$ とする。極限 $\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(a^n+b^n\right)}^{\frac{1}{n}}$ を求めよ。

(1) すべての自然数 $n$ について、次の不等式が成り立つことを示せ。

$$\sum _{k=1}^{2^n}\frac{1}{k}\ge 1+\frac{n}{2}$$

(2) 無限級数 $\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{k}$ は発散することを示せ。

方程式 $\cos x=x$ はただ1つの実数解をもつことを示せ。また、その解が $0<x<\frac{\pi }{2}$ の範囲にあることを示せ。

$a,b$ を実数の定数とし、

$$f(x)=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{x^{2n+1}+ax+b}{x^{2n}+1}$$

とする。

(1) $f(x)$ を求めよ($x$ の値の範囲によって場合分けせよ)。

(2) $f(x)$ がすべての実数 $x$ で連続となるような $a,b$ の値を求めよ。

(1) $n\ge 2$ のとき $3^n\ge 2n(n-1)$ が成り立つことを示せ。

(2) $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n}{3^n}=0$ を示せ。

(3) 無限級数 $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{n}{3^n}$ の和を求めよ。

極限 $\underset{n\to \infty }{\lim }n\left(\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(n+1{)}^2}+\cdots +\frac{1}{(2n{)}^2}\right)$ を求めよ。