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数学III

関数と極限 分数関数・無理関数・数列と関数の極限

分数関数・無理関数、逆関数と合成関数、数列の極限、無限級数、関数の極限と連続性を扱います。

全 56 問(★基礎 12・★★標準 12・★★★応用 8・★★★★難関 8・実戦編 8・最難関編 8)

★ 基礎の問題12問

教科書レベル。定義・公式の確認と基本操作

  1. 分数関数のグラフ
  2. 無理関数のグラフ
  3. 逆関数
  4. 数列の極限(分数)
  5. 数列の極限(2次)
  6. 無限等比数列の極限
  7. 無限等比級数
  8. 関数の極限(0分の0)
  9. 三角関数の極限
  10. 関数の極限(無限大)
  11. 関数の連続性
  12. 関数の極限(分数・無限大)

★★ 標準の問題12問

定期テストレベル。典型パターンの運用

  1. 数列の極限(∞-∞・有理化)
  2. 関数の極限(有理化)
  3. 無限等比級数(係数つき)
  4. 循環小数を分数に(無限級数)
  5. 三角関数の極限(角の調整)
  6. 三角関数の極限(1-cos)
  7. はさみうちの原理
  8. 関数の極限(∞-∞・有理化)
  9. 無限級数(部分分数)
  10. 中間値の定理
  11. 関数の極限(3次の0分の0)
  12. 無限等比級数の収束条件

★★★ 応用の問題8問

入試標準レベル。複数の考え方を組み合わせる

  1. 三角関数の極限(tan-sin)
  2. 関数の極限(x×根号)
  3. (等差)×(等比)の無限級数
  4. 三角関数の極限(sin/sin)
  5. 図形と無限等比級数
  6. 数列の極限(和の公式利用)
  7. 関数の極限(2つの根号)
  8. 漸化式で定まる数列の極限

★★★★ 難関の問題8問

旧帝大・早慶レベル。一部の単元に用意した挑戦枠

  1. 三角関数の極限(半角の利用)
  2. 無限等比級数の和
  3. 数列の極限(∞−∞の有理化)
  4. 階乗を含む数列の極限(はさみうち)
  5. 部分分数の無限級数
  6. 漸化式で定まる数列の極限
  7. 中間値の定理による解の存在
  8. 無限等比級数の収束条件

実戦編の問題8問

難関大の総合問題。複数の単元を融合した単元横断の演習

  1. 1/(n+k) の和の極限(区分求積法)
  2. 1−cos の極限(半角と sinx/x)
  3. 逆数が等差になる漸化式の極限
  4. 3つの積の逆数の無限級数(部分分数)
  5. (1+2/(n−1))の n 乗の極限(e への帰着)
  6. n!/nⁿ の極限(はさみうち)
  7. n(a^(1/n)−1) の極限(指数と対数)
  8. ライプニッツ級数(積分から π/4)

最難関編の問題8問

東大・京大の最難関レベル。気づきにくい発想や、何段階もの議論が必要な問題

  1. √(n²+1) の正弦の極限
  2. 1に近づく底の累乗の極限
  3. n乗の和の n乗根の極限
  4. 調和級数の発散
  5. cos x = x の解の存在と一意性
  6. 極限で定義された関数の連続性
  7. (等差)×(等比)の無限級数と正当化
  8. 逆数の平方和の n 倍の極限

関数と極限の解説(つまずきやすい点と学習の順序)

この単元の内容を使う入試過去問