数列の極限(∞-∞・有理化)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $\sqrt{n^2+n}$ も $n$ も無限大へ — $\infty -\infty$ の不定形だ。このままでは大小の綱引きが見えない。

根号入りの $\infty -\infty$ の定跡は有理化。$\sqrt{A}-B$ に $\frac{\sqrt{A}+B}{\sqrt{A}+B}$ を掛けると、分子は $A-B^2$ と根号が消える。

$$\sqrt{n^2+n}-n=\frac{(n^2+n)-n^2}{\sqrt{n^2+n}+n}=\frac{n}{\sqrt{n^2+n}+n}$$

$\frac{\infty }{\infty }$ の形に持ち込めたら、あとは分母・分子を $n$ で割る — いつもの最高次戦法だ。

① 有理化する。 $\sqrt{n^2+n}+n$ を分子・分母にかける。

$$\sqrt{n^2+n}-n=\frac{(n^2+n)-n^2}{\sqrt{n^2+n}+n}=\frac{n}{\sqrt{n^2+n}+n}$$

② 分母の最高次 $n$ で割る。 根号の中は $n^2$ でくくると $\sqrt{n^2+n}=n\sqrt{1+\frac{1}{n}}$。

$$=\frac{n}{n\sqrt{1+\frac{1}{n}}+n}=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1}$$

③ 極限をとる。 $\frac{1}{n}\to 0$ なので $\sqrt{1+\frac{1}{n}}\to 1$。

$$\underset{n\to \infty }{\lim }=\frac{1}{\sqrt{1}+1}=\frac{1}{2}$$

まとめ:$\infty -\infty$ で根号があれば、まず有理化。根号が消えて分数の形になれば、最高次で割るいつもの手順に乗る。$\sqrt{n^2+n}=n\sqrt{1+\frac{1}{n}}$ の変形がカギだ。

発展 — 一歩先へ。 $\sqrt{n^2+an}-n\to \frac{a}{2}$ と一般化できる(同じ有理化で分子が $an$ になる)。係数 $a$ の半分 — 別解の平均の見方なら「$n$ と $n+a$ の真ん中」として即座に読める。

数値検証の注意もひとつ。$n$ を非常に大きくして $\sqrt{n^2+n}-n$ を電卓やプログラムで直接計算すると、巨大な数どうしの引き算で有効数字が消える(桁落ち)。有理化した形 $\frac{n}{\sqrt{n^2+n}+n}$ なら安定して計算できる — 有理化は理論の道具であると同時に、数値計算の実務でも使われる変形である。

別解

答えが $\frac{1}{2}$ になる理由を、平均の言葉で先読みできる。

$\sqrt{n^2+n}=\sqrt{n(n+1)}$ — これは $n$ と $n+1$ の相乗平均だ。相乗平均は算術平均(ふつうの平均)にとても近い。$n$ と $n+1$ のふつうの平均は

$$\frac{n+(n+1)}{2}=n+\frac{1}{2}$$

だから $\sqrt{n^2+n}\approx n+\frac{1}{2}$、引き算の残りは $\frac{1}{2}$ — 答えの正体はこれである。

数値でも確かめられる。$n=100$ なら $\sqrt{10100}=100.4987\dots$ — 確かに $100.5$ のすぐそば($2$ つの平均の差は $n$ が大きいほど消えていく)。

「答えの見当を素朴につけてから、有理化で正当化する」— 極限の答えに直感の裏付けがあると、計算ミスにも気づきやすくなる。