無理関数のグラフ

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 関数を見たら、まず「入れられない $x$」がないかを確認する。

危険なのは $2$ か所だけだ。

• 分母 — $0$ にしてはいけない
• 根号の中 — 負にしてはいけない

この関数は根号があるから、中身に条件がつく。

$$x+1\geqq 0$$

これが定義域を決める。

値域は、 ​ の性質から出る。

根号は、負の値を返さない。 $\sqrt{0}=0$ が最小で、あとは上へ伸びていくだけだ。

$$y\geqq 0$$

「入れられる範囲(定義域)」と「出てくる範囲(値域)」を分けて考える。 この $2$ つの区別が、関数を扱う出発点である。

① 定義域を求める。 根号の中は $0$ 以上。

$$x+1\geqq 0\Rightarrow x\geqq -1$$

② 値域を求める。  ​ はつねに $0$ 以上。

$$y\geqq 0$$

まとめ:無理関数は「根号の中 $\geqq 0$」が定義域の絶対条件。グラフは $(-1,0)$ から始まって右上へ伸びる曲線(放物線を横に寝かせた半分)。値は $0$ から増える。

発展 — 一歩先へ。 「定義域」という概念は、地味に見えて、数学の落とし穴のほとんどをカバーしている。

有名な"$2=1$ の証明"を見てみよう。

$$a=b\text{とする}$$ $$a^2=ab(\text{両辺に }a\text{ を掛けた})$$ $$a^2-b^2=ab-b^2$$ $$(a+b)(a-b)=b(a-b)$$ $$a+b=b(\text{両辺を }a-b\text{ で割った})$$ $$2b=b⟹2=1$$

どこがおかしいか。

$a=b$ なのだから、$a-b=0$。$0$ で割ったのが誤りだ。

「$0$ では割れない」という定義域の制約を破った瞬間、数学は崩壊する。

同じ罠が、根号にもある。

$$\sqrt{x^2}=x?$$

$x=-3$ を入れてみよう。

$$\sqrt{(-3{)}^2}=\sqrt{9}=3\ne -3$$

正しくは

$$\sqrt{x^2}=|x|$$

根号は「正のほうを返す」約束だったから、絶対値がつく。

$2$ 乗と根号は、互いに逆の操作に見えて、完全な逆ではない。

$$x\stackrel{2\text{ 乗}}{\to }{x}^2\stackrel{\sqrt{}}{\to }|x|$$

符号の情報が、$2$ 乗の時点で失われている。 $3$ も $-3$ も、$2$ 乗すれば同じ $9$ になる。失われた情報は、根号では取り戻せない。

この非対称性が、方程式で「$2$ 乗したら必ず検算」というルールを生む。

$$\sqrt{x+1}=x-1$$

両辺を $2$ 乗すると $x+1=x^2-2x+1$、つまり $x^2-3x=0$、$x=0,3$。

$x=0$ を代入すると 左辺 $=1$、右辺 $=-1$ — 成り立たない。

$2$ 乗したときに、「右辺が負」という不可能な解まで混ざり込んだ。 偽の解、と呼ばれる。

定義域を意識しない計算は、しばしば嘘の答えを生む。

「その式は、どこで意味をもつのか」 — この問いを忘れないことが、正しい数学の第一歩である。

別解

逆関数を作ると、定義域と値域が"見える"。

$y=\sqrt{x+1}$ を、$x$ について解いてみよう。

両辺を $2$ 乗する。

$$y^2=x+1⟹x=y^2-1$$

$x$ が $y$ の $2$ 次式で書けた。

ここで大事な但し書きがある。 もとの式で $y=\sqrt{}\geqq 0$ だから

$$x=y^2-1(y\geqq 0)$$

この式は、何のグラフか。

$x$ と $y$ の役割を入れかえて読むと、$y=x^2-1$ という放物線である。頂点は $(-1,0)$ に相当する。

つまり、もとの無理関数のグラフは、放物線を横倒しにしたものの"上半分"だ。

横倒しの放物線 $x=y^2-1$ の頂点は $(-1,0)$。そこから右へ、上下に開いていく。

その上半分($y\geqq 0$)だけを切り取ったものが、$y=\sqrt{x+1}$ のグラフである。

この見方で、定義域と値域が一目で分かる。

• $x$ の動く範囲: 頂点 $-1$ から右へ、いくらでも → $x\geqq -1$ ✓
• $y$ の動く範囲: 上半分だから $0$ から上へ → $y\geqq 0$ ✓

なぜ「上半分だけ」なのか。

$\sqrt{4}=2$ であって、$-2$ ではない。 根号は「$2$ 乗して $4$ になる数」のうち、正のほうだけを返す約束になっている。

もし下半分も含めたら、$1$ つの $x$ に $2$ つの $y$ が対応してしまい、関数でなくなる。

逆関数の視点が教えてくれること。

$$y=\sqrt{x+1}⟺x=y^2-1(y\geqq 0)$$

もとの関数の「定義域」は、逆関数の「値域」。 もとの関数の「値域」は、逆関数の「定義域」。

$2$ つが、きれいに入れかわる。

根号を見て「定義域は?」と身構えるより、$2$ 乗して放物線に直すほうが、絵として理解しやすい。 $2$ 乗するのは、根号を外すいちばん素直な方法でもある。