三角関数の極限(1-cos)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $x=0$ で $\frac{1-1}{0}=\frac{0}{0}$。基本極限 $\frac{\sin \theta }{\theta }\to 1$ に持ち込みたいが、分子は $\cos$ — $\sin$ が見当たらない。

$1-\cos x$ から $\sin$ を作る定跡は、共役 $1+\cos x$ を掛けること。

$$\frac{1-\cos x}{x^2}\cdot \frac{1+\cos x}{1+\cos x}=\frac{1-{\cos }^{2}x}{x^2(1+\cos x)}=\frac{{\sin }^{2}x}{x^2(1+\cos x)}$$

${\sin }^{2}x$ が現れた。${\left(\frac{\sin x}{x}\right)}^2\to 1$ と $\frac{1}{1+\cos x}\to \frac{1}{2}$ の積で答えが出る。

① $1+\cos x$ をかける。

$$\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{(1-\cos x)(1+\cos x)}{x^2(1+\cos x)}=\frac{1-{\cos }^{2}x}{x^2(1+\cos x)}=\frac{{\sin }^{2}x}{x^2(1+\cos x)}$$

② $\frac{\sin x}{x}$ の形にする。

$$=(\frac{\sin x}{x}{)}^2\cdot \frac{1}{1+\cos x}$$

③ 極限をとる。 $\frac{\sin x}{x}\to 1$、$\cos x\to 1$。

$$\underset{x\to 0}{\lim }=1^2\times \frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}$$

まとめ:$1-\cos x$ を見たら「$1+\cos x$ をかけて ${\sin }^2$ に」が合言葉。$\frac{\sin x}{x}\to 1$ が使える形に変形するのが目標。有名な結果 $\frac{1-\cos x}{x^2}\to \frac{1}{2}$ だ。

発展 — 一歩先へ。 この極限は「角が小さいとき $\cos x\approx 1-\frac{x^2}{2}$」と読み替えられる。$\sin x\approx x$ が $1$ 次の近似なら、こちらは $\cos$ の $2$ 次の近似 — セットで覚えると、$\frac{\tan x-\sin x}{x^3}\to \frac{1}{2}$ のような複合極限も見通せる(分子 $=\tan x(1-\cos x)\approx x\cdot \frac{x^2}{2}$)。

物理では、この $\frac{x^2}{2}$ が「振り子の高さ $h=\ell (1-\cos \theta )\approx \frac{\ell {\theta }^2}{2}$」などエネルギーの $2$ 次近似として顔を出す。$1-\cos$ は「ずれの $2$ 乗」を運ぶ量なのだ。

別解

共役を掛ける代わりに、半角公式で $1-\cos x$ を一撃で $\sin$ に変える道がある。

$$1-\cos x=2{\sin }^2\frac{x}{2}$$

(倍角公式 $\cos x=1-2{\sin }^2\frac{x}{2}$ の並べ替えだ。)これを入れると

$$\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{2{\sin }^2\frac{x}{2}}{x^2}=\frac{2{\sin }^2\frac{x}{2}}{4{\left(\frac{x}{2}\right)}^2}=\frac{1}{2}{\left(\frac{\sin \frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}\right)}^2$$

$\frac{x}{2}\to 0$ だからカッコの中は $1$ へ。答え $\frac{1}{2}$ が、係数として最初から見えているのがこの変形の気持ちよさだ。

$1-\cos$ を見たら「共役を掛ける」か「半角で $2{\sin }^2$ に開く」— どちらも $\sin$ 製造の手段で、後者は分数の階数が増えない分、複雑な問題ほど計算が軽くなる。