無限等比級数(係数つき)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 無限等比級数の和は、$2$ つの読み取りで決まる。初項 $a$ と公比 $r$ だ。

$n=1$ を代入して初項 $a=2$。となりの項との比が $r=\frac{1}{3}$。

収束の確認を忘れない — $|r|=\frac{1}{3}<1$ だから和は存在して

$$S=\frac{a}{1-r}=\frac{2}{1-\frac{1}{3}}=3$$

「読み取る → 収束確認 → 公式」の三拍子である。

① 初項と公比を読む。 $n=1$ で初項 $a=2{\left(\frac{1}{3}\right)}^0=2$。公比 $r=\frac{1}{3}$。$|r|<1$ なので収束。

② 和の公式に入れる。

$$\sum _{n=1}^{\infty }2(\frac{1}{3}{)}^{n-1}=\frac{a}{1-r}=\frac{2}{1-\frac{1}{3}}=\frac{2}{\frac{2}{3}}=3$$

まとめ:$\Sigma$ 記号の等比級数は、まず初項($n=1$ を代入)と公比を読み取る。あとは $\frac{a}{1-r}$。初項は $2\times 1=2$、公比 $\frac{1}{3}$ で和は $3$。

発展 — 一歩先へ。 別解の警告(収束しないのに $S$ とおくと偽の答え)は、極限の論理のいちばん深い注意点だ。「$S=2+\frac{1}{3}S$」という等式は、$S$ という値が存在するなら成り立つ関係にすぎない。存在の保証($|r|<1$、または部分和の極限の計算)が先、方程式は後 — この順序が崩れた議論は答えが合っていても減点対象になる。

自己相似の見方は図形の無限級数(正方形や三角形を無限に入れ子にする問題)でそのまま活きる。「全体 $=$ 最初の $1$ 個 $+$ 縮小した全体」という等式が立てば、どんな入れ子も $1$ 次方程式で解ける。

別解

公式 $\frac{a}{1-r}$ を忘れても、自己相似の $1$ 行で和が出せる。

求める和を $S$ とおく。

$$S=2+\frac{2}{3}+\frac{2}{9}+\cdots$$

先頭の $2$ を除いた残り($\frac{2}{3}+\frac{2}{9}+\cdots$)をよく見ると、全体 $S$ の各項をちょうど $\frac{1}{3}$ 倍した級数になっている。つまり

$$S=2+\frac{1}{3}S$$

これを解いて $\frac{2}{3}S=2$、$S=3$。

「無限の尻尾は、全体の縮小コピー」— 等比級数の本質はこの入れ子構造で、和の公式 $S=a+rS\Rightarrow S=\frac{a}{1-r}$ はこの $1$ 行の一般化にすぎない。

ただし、この方法は「$S$ が存在する($|r|<1$)」ことが前提。収束しない級数に同じ操作をすると偽の答えが出る($1+2+4+\cdots =S=1+2S$ から $S=-1$?!)ので、収束確認とセットで使う。