三角関数の極限(角の調整)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 三角関数の極限の要は、基本極限 $\frac{\sin \theta }{\theta }\to 1$($\theta \to 0$)ただひとつ。

問題の式は $\frac{\sin 3x}{x}$ — $\sin$ の中身は $3x$ なのに分母は $x$ で、そろっていない。中身と分母をそろえるのが仕事だ。

$$\frac{\sin 3x}{x}=\frac{\sin 3x}{3x}\times 3$$

こうすれば前半は基本極限の形($\theta =3x$ も $0$ に向かう)で $1$ へ、残った $3$ が答えになる。

① $\sin$ の中身 $3x$ を分母に作る。 分母・分子を調整する。

$$\frac{\sin 3x}{x}=\frac{\sin 3x}{3x}\times 3$$

② 基本極限を使う。 $x\to 0$ のとき $3x\to 0$ なので $\frac{\sin 3x}{3x}\to 1$。

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin 3x}{x}=1\times 3=3$$

まとめ:$\frac{\sin (\text{中身})}{\text{中身}}\to 1$ の形に持ち込むのが定石。分母を $\sin$ の中身 $3x$ にそろえ、つじつま合わせに $\times 3$ をかける。角の係数がそのまま答えに出る。

発展 — 一歩先へ。 「角が小さければ $\sin \theta \approx \theta$」は、ラジアンという角の測り方の存在理由でもある。度数法だと $\frac{\sin x°}{x}\to \frac{\pi }{180}$ と余計な係数が付く — 係数が $1$ になるように角の単位を設計したのがラジアンだ。微分 $(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$ がきれいな形なのも同じ理由による。

この近似は振り子の等時性(物理)の導出にも使われる。振れ角が小さいとき $\sin \theta$ を $\theta$ で置き換えると運動方程式が解ける — 数IIIの基本極限は、理科の教科書の裏で常に働いている。

別解

答え $3$ を、近似の感覚で「見る」方法がある。

基本極限 $\frac{\sin \theta }{\theta }\to 1$ の意味は、角が小さいとき $\sin \theta \approx \theta$(ラジアンなら $\sin 0.03=0.029995\dots$ とほぼ角そのもの)ということだ。

この目で問題を見ると

$$\frac{\sin 3x}{x}\approx \frac{3x}{x}=3$$

分子の $\sin 3x$ が「ほぼ $3x$」に化けるから、比は $3$ — 答えが $1$ 行で見える。

もちろん「$\approx$」のままでは証明にならないので、答案は本解のように $\frac{\sin 3x}{3x}\times 3$ と正確な形に組む。だが「$\sin (\text{中身})\approx \text{中身}$、だから係数の比が答え」という感覚を持っておくと、$\frac{\sin 5x}{\sin 2x}\to \frac{5}{2}$ のような複合形も、計算の前に答えの見当がつく。検算と見通しの両方に効く近似眼だ。