関数の極限(3次の0分の0)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $x=1$ を入れると $\frac{0}{0}$。分子と分母がそろって $0$ になるのは、両方が因数 $(x-1)$ を隠し持っているからだ。

分子を因数分解する。

$$x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$$

分母の $(x-1)$ と約分すれば不定形は解消。極限は「$x=1$ そのもの」ではなく「$x=1$ に近づく」だから、$x\ne 1$ での約分は正当 — 約分してから $x=1$ を代入して $1+1+1=3$。

① 因数分解する。

$$\frac{x^3-1}{x-1}=\frac{(x-1)(x^2+x+1)}{x-1}=x^2+x+1(x\ne 1)$$

② 約分後に代入する。

$$\underset{x\to 1}{\lim }(x^2+x+1)=1+1+1=3$$

まとめ:$\frac{0}{0}$ は共通因数 $(x-1)$ の約分で解ける。$3$ 乗の差 $x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$ の因数分解を覚えておくと速い。約分後に $x=1$ を代入して $3$。

発展 — 一歩先へ。 一般に $\frac{x^n-1}{x-1}\to n$($x\to 1$)。因数分解ルートなら $x^{n-1}+\cdots +x+1$ に $1$ を入れて $n$ 個の $1$、微分ルートなら $(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$ の $x=1$ — どちらでも $1$ 行だ。

この極限は「$1$ に近い数のべき乗」の近似 $(1+h{)}^n\approx 1+nh$ と同じ内容でもある。複利計算($1.01^{10}\approx 1.1$)や誤差の伝播(測定値が $1\%$ ずれると $3$ 乗量は約 $3\%$ ずれる)— 答えの $3$ は「$3$ 乗は変化率を $3$ 倍にする」という実用則を語っている。

別解

「$1$ の近く」を虫眼鏡で覗く置換 — $x=1+h$ とおく手もある($x\to 1$ は $h\to 0$)。

$$\frac{x^3-1}{x-1}=\frac{(1+h{)}^3-1}{h}=\frac{3h+3h^2+h^3}{h}=3+3h+h^2$$

$h\to 0$ で残るのは先頭の $3$。

この形は情報が豊かだ。$3+3h+h^2$ という展開は、「$x$ が $1$ より $h$ だけ大きいとき、比の値は $3$ より約 $3h$ 大きい」— 極限値だけでなく、近づき方まで教えてくれる。

そして種明かし: $\frac{x^3-1}{x-1}=\frac{f(x)-f(1)}{x-1}$($f(x)=x^3$)は微分係数の定義式で、答え $3$ は $f^{\prime }(1)=3\cdot 1^2$。$(1+h{)}^3$ の展開の $1$ 次の係数が微分係数になる — 置換 $x=1+h$ は、微分の計算の原風景である。