数学III / 関数と極限

調和級数の発散

最難関編級数の発散ブロック評価

問題

(1) すべての自然数 $n$ について、次の不等式が成り立つことを示せ。

$k = 1 \sum 2^{n} \frac{1}{k} \geq 1 + \frac{n}{2}$

(2) 無限級数 $k = 1 \sum \infty \frac{1}{k}$ は発散することを示せ。

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各項は0に近づくのに、和が大きくなり続けることをどう示すか。和を「区切りのよいかたまり」に分けて、各かたまりを最小の項×個数で下から見積もると — どのかたまりも同じ量だけ稼いでいないか。

解答・解説

方針

和を 2 のべきで区切ったブロックに分け、各ブロックの項をいちばん小さい項で置き換えて下から見積もる: 2^{m−1}+1 から 2^m までの 2^{m−1} 個の項はどれも 1/2^m 以上なので、ブロック和は必ず 1/2 以上。ブロックが n 個で n/2 稼げる。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $\frac{1}{k}$ の和に公式はない。発散を示すには下からの評価があればよい。

定石は「ブロック分割+最小項×個数」だ。和を $2$ のべきで区切ると、区間 $(2^{m - 1}, 2^{m}]$ には $2^{m - 1}$ 個の項があり、どれも $\frac{1}{2 ^{m}}$ 以上。だからブロック1つで必ず $\frac{1}{2}$ 稼げる。

項がいくら小さくなっても、ブロックの「個数×最小値」が一定に保たれる。これがこの級数の恐ろしさだ。

重要下からの評価: ブロック内の各項を最小の項で置き換える。区間

(2^{m - 1}, 2^{m}]

の項数は

2^{m - 1}

、各項は

\geq \frac{1}{2 ^{m}}

① ブロックの評価。 $m \geq 1$ に対し

$B_{m} = k = 2^{m - 1} + 1 \sum 2^{m} \frac{1}{k} \geq 2^{m - 1} \cdot \frac{1}{2 ^{m}} = \frac{1}{2}$

② 足し上げる((1)の証明)。 $1$ から $2^{n}$ までの和は、先頭の $1$ と $n$ 個のブロックに分かれるから

$k = 1 \sum 2^{n} \frac{1}{k} = 1 + B_{1} + B_{2} + \dots + B_{n} \geq 1 + \frac{n}{2}$

③ 発散((2)の証明)。 部分和 $S_{N} = \sum_{k = 1}^{N} \frac{1}{k}$ は増加する。どんな数 $M$ に対しても、 $n > 2 (M - 1)$ ととれば

$S_{2^{n}} \geq 1 + \frac{n}{2} > M$

つまり部分和はどんな数をも超えるので、この級数は(一定の値に収束せず)発散する。

まとめ: 「各項 $\to 0$ でも和は発散し得る」ことのいちばん重要な実例。倍々のブロックで切ると各ブロックが等しく $\frac{1}{2}$ を差し出す、という構造の発見が全て — 収束・発散の判定は、和を「評価できる形」に組み替える技術だ。

発展 — 一歩先へ。 ブロック評価は上からも使える: 各ブロックは(最大項)×(個数) $\leq \frac{1}{2 ^{m - 1}} \cdot 2^{m - 1} = 1$ 以下なので $S_{2^{n}} \leq 1 + n$ 。下界 $1 + \frac{n}{2}$ とあわせて、部分和 $S_{N}$ は $lo g_{2} N$ の定数倍の速さで(そしてその速さでしか)育たないことが分かる。「発散するが、対数的にしか発散しない」— 調和級数の性格はこの両側評価で初めて全貌が見える。

答

(1) ブロックごとの下からの評価(証明) (2) 部分和がどんな数をも超えるので発散

別解

背理法で(収束すると仮定して自分より大きくなる)。 発散の証明には、鮮やかな背理法もある。

仮に $\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k}$ が値 $S$ に収束したとする。項を偶数番目と奇数番目に分けると(すべて正の項なので、部分和で考えれば分割してよい)

$S = (1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \dots) + (\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + \dots)$

偶数番目の和は $\frac{1}{2} (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots) = \frac{S}{2}$ 。

一方、奇数番目の和は、各項で $\frac{1}{2 k - 1} > \frac{1}{2 k}$ だから偶数番目の和より真に大きい。すると

$S > \frac{S}{2} + \frac{S}{2} = S$

$S > S$ は矛盾。よって収束せず、正項級数だから発散する。

ブロック評価(本解)は「どれだけゆっくりか( $lo g$ 程度)」まで教えてくれる定量的な道、背理法は存在しないことを一撃で示す定性的な道。両方持っておくと級数の議論が立体的になる。

ポイント

ブロック $B_{m} \geq 2^{m - 1} \cdot \frac{1}{2 ^{m}} = \frac{1}{2}$ 。
$\sum_{k \leq 2^{n}} \frac{1}{k} \geq 1 + \frac{n}{2}$ 。
部分和が任意の $M$ を超える → 発散。

よくある間違い

「各項が0に近づくから収束する」と考える(最頻の誤り。本問はその反例そのもの)。
ブロック内の項数を $2^{m}$ 個と数える(区間 $(2^{m - 1}, 2^{m}]$ の項数は $2^{m} - 2^{m - 1} = 2^{m - 1}$ 個)。
(2)で「部分和がどんな $M$ をも超える」の論理を書かず、「どんどん大きくなるから発散」で済ませる。