無限級数(部分分数)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 無限級数の和は、いきなり「無限に足す」のではない。部分和 $S_n$ を求めて、その極限をとる — この二段が定義だ。

$S_n$ の計算は数Bでやった部分分数の望遠鏡和。

$$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$$

途中が打ち消し合って $S_n=1-\frac{1}{n+1}$。あとは $n\to \infty$ で $\frac{1}{n+1}\to 0$、和は $1$。

「有限の和を閉じた式に → 極限」— 等比でない無限級数は、いつもこの手順で正体を確かめる。

① 部分和 $S_n$ を求める。 部分分数 $\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}$ で telescoping。

$$S_n=\sum _{k=1}^n(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1})=1-\frac{1}{n+1}$$

② 部分和の極限をとる。 これが無限級数の和。

$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n(n+1)}=\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }(1-\frac{1}{n+1})=1-0=1$$

まとめ:無限級数は「部分和 $S_n$ を出して、その極限をとる」の $2$ 段階。部分分数で $S_n=1-\frac{1}{n+1}$ が出れば、$n\to \infty$ で $\frac{1}{n+1}\to 0$、和は $1$。等比級数以外はこの手順が基本だ。

発展 — 一歩先へ。 似た顔の $\sum \frac{1}{n}$(調和級数)は、項が $0$ に向かうのに和は無限大に発散する。「項 $\to 0$」は収束の必要条件であって十分条件ではない — この級数($\frac{1}{n(n+1)}$、収束)と調和級数(発散)のペアは、その区別を体で覚える最良の教材だ。

さらに $\sum \frac{1}{n^2}$ は収束して $\frac{{\pi }^2}{6}$(バーゼル問題・オイラー)。$\frac{1}{n(n+1)}<\frac{1}{n^2}<\frac{1}{n(n-1)}$ の挟み込みで収束だけなら高校の道具でも示せる — 望遠鏡和は、収束判定の「ものさし」としても働く。

別解

和がちょうど $1$ になることを、$1$ 本の線分の絵で見ることができる。

長さ $1$ の線分 $[0,1]$ に、点 $\frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{3}{4},\frac{4}{5},\dots$ を打っていく(点 $1-\frac{1}{n+1}$ の列で、$1$ に限りなく近づく)。

区切られた各小片の長さを測ると

$$\frac{1}{2}-0=\frac{1}{2},\frac{2}{3}-\frac{1}{2}=\frac{1}{6},\frac{3}{4}-\frac{2}{3}=\frac{1}{12},\dots$$

第 $n$ 片の長さは $\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=\frac{1}{n(n+1)}$ — まさに級数の各項だ。

つまりこの級数は、長さ $1$ の線分を無限個の小片に切り分けたもの。全部足せば線分全体の長さ $1$ に戻るのは当然で、部分和 $S_n=1-\frac{1}{n+1}$ は「$n$ 片目までで線分のどこまで来たか」を表している。

無限級数の和が有限に収まる不思議さが、「有限の線分を細かく分けただけ」という絵で腑に落ちる。