1に近づく底の累乗の極限

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 底 $\cos \frac{1}{n}\to 1$、指数 $n^2\to \infty$ の「1の無限乗」型不定形だ。この型は対数を取って積の形に翻訳するのが定石になる。

$L_n=n^2\log \cos \frac{1}{n}$ とおく。$\cos \frac{1}{n}=1+t_n$($t_n=\cos \frac{1}{n}-1\to 0$)と見ると、$1-\cos$ の標準極限と $\log (1+t)$ の標準極限が連鎖する形に分解できる。

部品を2つつないで組み立てる、という設計図が最初に見えれば、あとは各部品の値を入れるだけだ。

① 対数を取り、分解する。 $t_n=\cos \frac{1}{n}-1$ とおくと

$$L_n=n^2\log \left(1+t_n\right)=n^2{t}_n\cdot \frac{\log (1+t_n)}{t_n}$$

② それぞれの因子の極限。 前の因子は $u=\frac{1}{n}$ として

$$n^2{t}_n=-\frac{1-\cos \frac{1}{n}}{{\left(\frac{1}{n}\right)}^2}⟶-\frac{1}{2}$$

後の因子は $t_n\to 0$ だから $\frac{\log (1+t_n)}{t_n}\to 1$。よって $L_n\to -\frac{1}{2}$。

③ 指数に戻す。 指数関数は連続だから

$${\left(\cos \frac{1}{n}\right)}^{n^2}=e^{L_n}⟶e^{-1/2}=\frac{1}{\sqrt{e}}$$

まとめ: 「1の無限乗」は対数化 → 標準極限の積に分解、が設計図。$\frac{1-\cos u}{u^2}\to \frac{1}{2}$ と $\frac{\log (1+t)}{t}\to 1$ という2つの部品を、置き換え $t_n$ でつないで組み立てる — 極限の計算は部品の連鎖で書くと迷いがない。

発展 — 一歩先へ。 $\cos \frac{a}{n}$ に変えると答えは $e^{-a^2/2}$。これは $\cos u\approx 1-\frac{u^2}{2}$ という2次の近似がそのまま指数に乗る、と読める。この「関数を多項式で近似して極限を読む」視点は、数IIIの先(テイラー展開)で全面的に開花する — $\frac{\sin \theta }{\theta }\to 1$ も $\frac{1-\cos u}{u^2}\to \frac{1}{2}$ も、その最初の2項の姿だ。

別解

$e$ の定義の形に直接寄せる(対数を経由しない)。 $t_n=\cos \frac{1}{n}-1\to 0$ とおくと、与式は

$${\left(\cos \frac{1}{n}\right)}^{n^2}={\left(1+t_n\right)}^{n^2}=\{(1+t_n{)}^{\frac{1}{t_n}}{\}}^{n^2{t}_n}$$

と、$e$ の定義の形 $(1+t{)}^{1/t}$ を無理やりくくり出せる。

中身は $t_n\to 0$ だから $(1+t_n{)}^{1/t_n}\to e$。肩に乗った指数は

$$n^2{t}_n=-\frac{1-\cos \frac{1}{n}}{{\left(\frac{1}{n}\right)}^2}⟶-\frac{1}{2}$$

よって全体は $e^{-1/2}$。

対数化(本解)と $e$ の定義くくり出し(本ルート)は、同じ計算の表と裏だ。「$1$ に近づくものの大きな累乗を見たら、$(1+\text{小}{)}^{1/\text{小}}$ を作って $e$ をくくり出す」— この反射は ${\left(1+\frac{a}{n}\right)}^n\to e^a$ 系の問題すべてに通じる。