関数の極限(2つの根号)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $x\to 0$ で分子は $0$、分母も $0$ の $\frac{0}{0}$ 型。このまま代入はできない。

分子は $2$ つの根号の差。根号の差は、和 $\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}$ を掛けて有理化するのが定石。

そうすると分子が $(1+x)-(1-x)=2x$ と簡単になり、じゃまだった $x$ が約分できる。

約分してから代入すれば、$\frac{0}{0}$ が解ける、と見通す。

① 有理化する。 $\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}$ をかける。

$$\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{x}=\frac{(1+x)-(1-x)}{x(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})}=\frac{2x}{x(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})}$$

② 約分する。 $x\ne 0$。

$$=\frac{2}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}$$

③ 代入する。 $x\to 0$。

$$\underset{x\to 0}{\lim }=\frac{2}{\sqrt{1}+\sqrt{1}}=\frac{2}{2}=1$$

まとめ:根号が $2$ つあっても、その和をかければ有理化できる($(\sqrt{A}-\sqrt{B})(\sqrt{A}+\sqrt{B})=A-B$)。分子が $2x$、$x$ を約分して代入。分母は $\sqrt{1}+\sqrt{1}=2$ で答えは $1$。

発展 — 一歩先へ。 $f(u)=\sqrt{1+u}$ とおくと、分子は $f(x)-f(-x)$。この極限は $\frac{f(x)-f(-x)}{x}=2\cdot \frac{f(x)-f(-x)}{2x}\to 2f^{\prime }(0)$ と書ける。

$f^{\prime }(u)=\frac{1}{2\sqrt{1+u}}$ より $f^{\prime }(0)=\frac{1}{2}$、だから $2f^{\prime }(0)=1$。

$\frac{f(x)-f(-x)}{2x}$ は「中心差分」と呼ばれ、$f^{\prime }(0)$ をよく近似する。コンピュータで微分を数値計算するときの基本の式だ。一般に $\frac{\sqrt{1+ax}-\sqrt{1-bx}}{x}\to \frac{a+b}{2}$ で、今回は $a=b=1$ の場合にあたる。

別解

別解 — $0$ の近くの近似で見る(苦手な人向けの近似ルート)。 根号は、$0$ の近くではまっすぐな直線で近似できる。

$\sqrt{1+x}\approx 1+\frac{x}{2}$、$\sqrt{1-x}\approx 1-\frac{x}{2}$($1$ の近くで  ​ は傾き $\frac{1}{2}$)。実際 $x=0.01$ で $\sqrt{1.01}=1.00498\dots \approx 1.005$、$\sqrt{0.99}=0.99498\dots \approx 0.995$ と、よく合う。

差をとると

$$\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}\approx (1+\frac{x}{2})-(1-\frac{x}{2})=x.$$

これを $x$ で割れば $\frac{x}{x}=1$。有理化する本解と同じ答え。$\sqrt{1+x}$ と $\sqrt{1-x}$ が反対向きに同じだけ傾くので、差はちょうど $x$ ほどになり、$x$ で割って $1$ に近づく。