循環小数を分数に(無限級数)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $0.333\cdots$ を「桁ごとにばらす」と、無限等比級数が現れる。

$$0.333\cdots =0.3+0.03+0.003+\cdots$$

各項は前の項の $\frac{1}{10}$ — 初項 $0.3$、公比 $0.1$ の無限等比級数だ。$|0.1|<1$ だから収束して

$$S=\frac{0.3}{1-0.1}=\frac{0.3}{0.9}=\frac{1}{3}$$

「循環小数 $=$ 桁の無限級数」という見方が、この問題の主題である。

① 無限等比級数に分解する。

$$0.333\cdots =\frac{3}{10}+\frac{3}{100}+\frac{3}{1000}+\cdots$$

初項 $a=\frac{3}{10}$、公比 $r=\frac{1}{10}$($|r|<1$)。

② 和の公式に入れる。

$$=\frac{\frac{3}{10}}{1-\frac{1}{10}}=\frac{\frac{3}{10}}{\frac{9}{10}}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$$

まとめ:循環小数は「同じ数字がくり返す無限等比級数」。$0.3,0.03,0.003,\dots$ と分けると、初項 $\frac{3}{10}$・公比 $\frac{1}{10}$。和の公式で分数に直せる。$\frac{1}{3}=0.333\cdots$ の確認にもなる。

発展 — 一歩先へ。 同じ級数分解で、どんな循環小数も分数に直せる。$0.\dot{1}\dot{2}=0.12+0.0012+\cdots$ は初項 $0.12$・公比 $0.01$ で $\frac{0.12}{0.99}=\frac{12}{99}=\frac{4}{33}$ — 「循環節を $99\cdots 9$ で割る」という数Aの規則の正体が、和の公式の分母 $1-10^{-k}$ だったと分かる。

この事実の裏返しとして、$0.999\cdots =\frac{0.9}{1-0.1}=1$ — 「$0.999\cdots$ はちょうど $1$」という有名な等式も級数の収束として正確に意味づけられる。循環小数の世界は、無限等比級数の応用例そのものである。

別解

数Aで習った「$10$ 倍して引く」古典手法と、今回の級数ルートを並べてみよう。

$x=0.333\cdots$ とおく。$10$ 倍すると小数点が $1$ つ動いて

$$10x=3.333\cdots =3+0.333\cdots =3+x$$

$9x=3$ より $x=\frac{1}{3}$ — 級数の答えと一致する。

実はこの $2$ つ、同じことをしている。「$10x$ の小数部分がもとの $x$ と同じ」という観察は、級数の言葉では「公比 $0.1$ の自己相似(尻尾が全体の $\frac{1}{10}$)」そのもの。$10$ 倍法の $9=10-1$ は、和の公式の分母 $1-r=1-\frac{1}{10}$ を $10$ 倍した姿だ。

数Aでは天下り的だった「$10$ 倍して引く」に、極限の理屈(部分和が収束するからこの操作が正当)という土台が入る — 単元をまたいで同じ事実を二度見る価値はここにある。