n!/nⁿ の極限(はさみうち)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $\frac{n!}{n^n}$ を、$n$ 個の分数の積とみる。$\frac{1}{n}\cdot \frac{2}{n}\cdot \frac{3}{n}\cdots \frac{n}{n}$。

各因子は $1$ 以下(最後の $\frac{n}{n}=1$)で、最初の因子は $\frac{1}{n}$。だから積全体は、最初の $\frac{1}{n}$ に $1$ 以下の数を掛けたものより大きくならない。

$0<\frac{n!}{n^n}\le \frac{1}{n}$。両側が $0$ に向かうので、はさみうちで極限は $0$。

① 積に分ける。 $$\frac{n!}{n^n}=\frac{1}{n}\cdot \frac{2}{n}\cdot \frac{3}{n}\cdots \frac{n}{n}.$$ ② 上から押さえる。 $2$ 番目以降の因子 $\frac{2}{n},\frac{3}{n},\dots ,\frac{n}{n}$ はすべて $1$ 以下(最後は $1$)。だから $$0<\frac{n!}{n^n}=\frac{1}{n}\cdot \underset{\le 1}{\underbrace{\frac{2}{n}\cdots \frac{n}{n}}}\le \frac{1}{n}.$$ ③ はさみうち。 $\frac{1}{n}\to 0$ だから、$0<\frac{n!}{n^n}\le \frac{1}{n}$ より $$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n!}{n^n}=0.$$

まとめ $\frac{n!}{n^n}$ を分数の積とみて、最初の因子 $\frac{1}{n}$ で上から押さえる($0<\cdot \le \frac{1}{n}$)。はさみうちで $0$。極限とはさみうち・数列の融合。

発展 — 一歩先へ。 どれくらいの速さで $0$ かは、スターリングの近似 $n!\approx \sqrt{2\pi n}{\left(\frac{n}{e}\right)}^n$ が精密に答える。これを使うと $\frac{n!}{n^n}\approx \sqrt{2\pi n}{e}^{-n}$ で、$e^{-n}$ の速さで $0$ に落ちる。隣接比が $\frac{1}{e}$ に近づく(別解)ことと同じ内容を、閉じた式で語っている。

別解

別解 — $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ の比で急減を見る(得意な人向けの高い視点)。 $a_n=\frac{n!}{n^n}$ の隣接比を調べる。

$$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(n+1)!}{(n+1{)}^{n+1}}\cdot \frac{n^n}{n!}=\frac{n^n}{(n+1{)}^n}={\left(\frac{n}{n+1}\right)}^n=\frac{1}{{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n}.$$

分母 ${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n\to e$ だから、比は $\frac{1}{e}\approx 0.368$ に近づく。

つまり大きい $n$ では、$a_n$ は毎回およそ $\frac{1}{e}$ 倍される。公比 $\frac{1}{e}<1$ の等比数列のように、幾何級数的に $0$ へ落ちていく。

はさみうち(本解)は $\le \frac{1}{n}$ という素朴な上界で $0$ を示すが、隣接比は「どれくらいの速さで $0$ か」まで教えてくれる。$e$ が顔を出すのも面白いところだ(級数 $\sum a_n$ の収束は、比が $\frac{1}{e}<1$ からダランベールの判定で分かる)。