無限等比級数の収束条件

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 無限等比級数 $1+r+r^2+\cdots$ が「収束する」とは、部分和 $S_n=\frac{1-r^n}{1-r}$($r\ne 1$)が一定の値に落ち着くこと。

$S_n$ の中で $n$ とともに動く部品は $r^n$ だけ。$r^n$ が収束する条件はよく知っているとおり $-1<r\leqq 1$ だが、$r=1$ は別扱い($S_n=n\to \infty$ で発散)。

よって収束条件は $-1<r<1$。$r=\frac{2}{3}$ はこの範囲にあるから、和は $\frac{1}{1-r}=3$ と確定する。

① 収束条件を書く。 公比 $r$ について

$$|r|<1\Rightarrow -1<r<1$$

($|r|\geqq 1$ だと項が $0$ に向かわず、和が発散する。)

② $r=\frac{2}{3}$ の和を求める。 $\frac{2}{3}$ は $-1<r<1$ を満たす。初項 $a=1$。

$$1+\frac{2}{3}+(\frac{2}{3}{)}^2+\cdots =\frac{1}{1-\frac{2}{3}}=\frac{1}{\frac{1}{3}}=3$$

まとめ:無限等比級数の収束は「公比の大きさ $|r|<1$」が絶対条件。この範囲でだけ和 $\frac{a}{1-r}$ が意味をもつ。$|r|\geqq 1$ では項が小さくならず、無限に足すと発散する。

発展 — 一歩先へ。 一般の無限等比級数(初項 $a$)では、収束条件は「$|r|<1$ または $a=0$」— 初項が $0$ なら公比が何であれ全項 $0$ で収束する。この見落としがちな例外は、初項に文字を含む応用問題($\Sigma x(1-x{)}^{n-1}$ の収束条件など)で正面から問われる。

$r=-1$ の $1-1+1-\cdots$ は歴史的にも有名で、「$\frac{1}{2}$ では?」という誤答(グランディ級数)を巡って $18$ 世紀の数学者が論争した。部分和の極限、という現代の定義が確立して初めて「収束しない」と決着した — 定義を厳密にする意味を物語る級数である。

別解

条件 $-1<r<1$ の輪郭を、境界の実例で確かめておくと忘れない。

• $r=\frac{2}{3}$(範囲内): 部分和は $1,\frac{5}{3},\frac{19}{9},\frac{65}{27},\dots$ — $3-3{\left(\frac{2}{3}\right)}^n$ の形で、$3$ に向かってじわじわ登る。収束。
• $r=1$(境界): $1+1+1+\cdots$、部分和は $n$ そのもの。発散。
• $r=-1$(境界): $1-1+1-1+\cdots$、部分和は $1,0,1,0,\dots$ と永遠に振動。行き先が定まらず収束しない。
• $r=2$(範囲外): $1+2+4+\cdots$、爆発的に発散。

境界の $2$ つ($r=\pm 1$)がどちらもダメ — だから不等号は両方とも「$<$」で、等号は入らない。

「公式の適用条件は、境界の反例とセットで覚える」。$|r|<1$ という記号の暗記より、$1-1+1-\cdots$ が振動する絵の方が、試験場で確実に思い出せる。