三角関数の極限(半角の利用)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $x\to 0$ で分母 $x\sin x\to 0$、分子 $1-\cos 2x\to 0$ の $\frac{0}{0}$ 型。

三角関数の $\frac{0}{0}$ 型は、$\frac{\sin x}{x}\to 1$ に持ち込むのが定石。

そのために、$\cos$ を含む分子を $\sin$ の式に書き直したい。$2$ 倍角(半角)$1-\cos 2x=2{\sin }^{2}x$ を使う。

すると分子・分母に $\sin x$ が現れて約分でき、$\frac{\sin x}{x}$ の形になる、と見通す。

① 分子を書き直す。 $1-\cos 2x=2{\sin }^{2}x$ だから

$$\frac{1-\cos 2x}{x\sin x}=\frac{2{\sin }^{2}x}{x\sin x}=\frac{2\sin x}{x}$$

② 極限をとる。

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2\sin x}{x}=2\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=2\cdot 1=2$$

まとめ:三角関数の $\frac{0}{0}$ 型は「$\frac{\sin x}{x}\to 1$ に持ち込む」。$1-\cos 2x=2{\sin }^{2}x$ の半角変形で分子に ${\sin }^{2}x$ を出し、$\sin x$ を約分すると $\frac{\sin x}{x}$ が現れる。$1-\cos x=2{\sin }^2\frac{x}{2}$ の形も同様に使える。

発展 — 一歩先へ。 こうした極限は、$0$ の近くでの近似 $\sin x\approx x$、$1-\cos x\approx \frac{x^2}{2}$ を知っていると即座に見当がつく。

分子 $1-\cos 2x\approx \frac{(2x{)}^2}{2}=2x^2$、分母 $x\sin x\approx x\cdot x=x^2$。比は $\frac{2x^2}{x^2}=2$。

この「主要な項だけを残す」考えは、テイラー展開や微分係数の定義そのもの。極限計算は、関数を $0$ の近くで多項式に置きかえて先頭だけ見る作業だ、と捉えると全体が見通せる。

別解

別解 — もう $1$ つの基本極限 $\frac{1-\cos \theta }{{\theta }^2}\to \frac{1}{2}$ を使う(得意な人向けの視点)。 半角変形をしなくても、$\cos$ 型の基本極限を直接あてはめられる。

分母・分子を $(2x{)}^2$ でそろえるように書きかえる。

$$\frac{1-\cos 2x}{x\sin x}=\frac{1-\cos 2x}{(2x{)}^2}\cdot \frac{(2x{)}^2}{x\sin x}=\frac{1-\cos 2x}{(2x{)}^2}\cdot 4\cdot \frac{x}{\sin x}.$$

$x\to 0$ で、$\frac{1-\cos 2x}{(2x{)}^2}\to \frac{1}{2}$(角を $2x$ とみた基本極限)、$\frac{x}{\sin x}\to 1$。よって

$$\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 1=2.$$

半角で $2{\sin }^{2}x$ に直す本解と同じ。$\frac{\sin \theta }{\theta }\to 1$ と $\frac{1-\cos \theta }{{\theta }^2}\to \frac{1}{2}$ の $2$ つを道具として持っておくと、$\cos$ が絡む $\frac{0}{0}$ 型はたいてい角をそろえるだけで片づく。