1/(n+k) の和の極限(区分求積法)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $\sum _{k=1}^n\frac{1}{n+k}$ の各項に $n$ が入っている。$\frac{1}{n}$ をくくり出す形に整えると、区分求積の合図が見える。

$\frac{1}{n+k}=\frac{1}{n}\cdot \frac{1}{1+k/n}$ と変形すれば、$\frac{1}{n}\sum f\left(\frac{k}{n}\right)$ の形($f(x)=\frac{1}{1+x}$)。

これは区間 $[0,1]$ を $n$ 等分したリーマン和で、$n\to \infty$ で定積分 ${\int }_0^1\frac{dx}{1+x}$ に近づく。あとは積分するだけだ。

① $\frac{1}{n}$ をくくり出す。 $$\sum _{k=1}^n\frac{1}{n+k}=\sum _{k=1}^n\frac{1}{n}\cdot \frac{1}{1+\frac{k}{n}}=\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\frac{1}{1+\frac{k}{n}}.$$

② 定積分に直す。 $f(x)=\frac{1}{1+x}$ とみて $$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\frac{1}{1+\frac{k}{n}}={\int }_0^1\frac{dx}{1+x}=[\log (1+x){]}_0^1=\log 2.$$

まとめ $\frac{1}{n+k}$ を $\frac{1}{n}\cdot \frac{1}{1+k/n}$ に整えれば区分求積、${\int }_0^1\frac{dx}{1+x}=\log 2$。数列の和・積分・対数の融合。

発展 — 一歩先へ。 $H_{2n}-H_n\to \log 2$ は、交代調和級数 $1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots =\log 2$ の言い換えでもある(前半 $2n$ 項をうまく組み替えると $H_{2n}-H_n$ が現れる)。区分求積・調和数・交代級数という3つの顔が、すべて $\log 2$ という1つの値を指している。

別解

別解 — 調和数の差として捉える(得意な人向けの高い視点)。 和を分解してみる。$\sum _{k=1}^n\frac{1}{n+k}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots +\frac{1}{2n}$ は、$\frac{1}{1}+\cdots +\frac{1}{2n}$ から $\frac{1}{1}+\cdots +\frac{1}{n}$ を引いたものだ。

調和数 $H_m=\sum _{k=1}^m\frac{1}{k}$ を使えば

$$\sum _{k=1}^n\frac{1}{n+k}=H_{2n}-H_n.$$

ここで $H_m\approx \log m+\gamma$(オイラーの定数 $\gamma$)という近似を使うと

$$H_{2n}-H_n\approx (\log 2n+\gamma )-(\log n+\gamma )=\log 2n-\log n=\log 2.$$

定数 $\gamma$ がきれいに相殺して $\log 2$ が残る。区分求積(本解)が「面積」で見るのに対し、こちらは「調和数の引き算」で見る。$H_{2n}-H_n\to \log 2$ は、交代調和級数 $1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\cdots =\log 2$ とも同じ値で、深いところでつながっている。