(1+2/(n−1))の n 乗の極限(e への帰着)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 ${\left(\frac{n+1}{n-1}\right)}^n$ は $1^{\infty }$ の不定形。底が $1$ に近づき、指数が $\infty$ — これは $e$ の定義に持ち込む形だ。

底を $1+(\text{小})$ に直す。$\frac{n+1}{n-1}=1+\frac{2}{n-1}$。

${\left(1+\frac{2}{n-1}\right)}^{n-1}\to e^2$($e$ の定義)を使いたいので、指数を $n-1$ にそろえる。余った指数のずれは $1$ に収束するので、極限は $e^2$。

① 底を $1+(\text{小})$ に。 $$\frac{n+1}{n-1}=\frac{(n-1)+2}{n-1}=1+\frac{2}{n-1}.$$ ② 指数を $n-1$ にそろえる。 $${\left(1+\frac{2}{n-1}\right)}^n={\left(1+\frac{2}{n-1}\right)}^{n-1}\cdot {\left(1+\frac{2}{n-1}\right)}^1.$$ ③ 極限をとる。 $m=n-1\to \infty$ とみると ${\left(1+\frac{2}{n-1}\right)}^{n-1}\to e^2$、また ${\left(1+\frac{2}{n-1}\right)}^1\to 1$。よって $$\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(\frac{n+1}{n-1}\right)}^n=e^2\cdot 1=e^2.$$

まとめ $1^{\infty }$ は底を $1+\frac{2}{n-1}$ にして $e$ の定義に帰着。指数を $n-1$ にそろえ、残りは $1$。極限は $e^2$。極限と $e$ の融合。

発展 — 一歩先へ。 より一般に ${\left(\frac{n+a}{n+b}\right)}^n\to e^{a-b}$。差 $a-b$ だけが効き、$a,b$ 個別の値は極限に残らない。${\left(1+\frac{x}{n}\right)}^n\to e^x$ という $e$ の普遍的な現れ方の一族で、連続複利や微分方程式 $y^{\prime }=y$ の解 $e^x$ の源でもある。

別解

別解 — 対数をとって指数を下ろす(苦手な人向け)。 $1^{\infty }$ 型は、対数をとると和や積の極限に化ける。$L=\lim {\left(\frac{n+1}{n-1}\right)}^n$ とおき、両辺の対数をとる。

$$\log L=\underset{n\to \infty }{\lim }n\log \frac{n+1}{n-1}=\underset{n\to \infty }{\lim }n\log \left(1+\frac{2}{n-1}\right).$$

$\log (1+x)\approx x$($x$ が小さいとき)を使うと、$\log \left(1+\frac{2}{n-1}\right)\approx \frac{2}{n-1}$。だから

$$\log L=\underset{n\to \infty }{\lim }n\cdot \frac{2}{n-1}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{2n}{n-1}=2.$$

$\log L=2$ だから $L=e^2$。

$e$ の定義に指数をそろえる本解に対し、対数ルートは「指数を前に下ろして極限」という一直線。$1^{\infty }$ を見たら対数、は極限計算の定石だ。