無限等比数列の極限

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 ${\left(\frac{1}{2}\right)}^n$ を、実際に書き出してみよう。

$$\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8},\frac{1}{16},\frac{1}{32},\dots$$

毎回、半分になる。 どんどん小さくなり、$0$ に近づいていく。

$r^n$ の運命は、公比 $r$ の大きさだけで決まる。

• $|r|<1$(小数を掛け続ける)→ $0$ に収束
• $|r|>1$(大きくなる数を掛ける)→ 発散
• $r=1$ → ずっと $1$

「$r^n$ を見たら、まず $|r|$ と $1$ の大小を比べる。」

今回は $r=\frac{1}{2}$ で、$|r|<1$。 だから $0$ に収束する。

ただし、$0$ になるのではない。 ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{100}$ も、極めて小さいが、確かに正の数だ。$0$ に「近づく」だけである。

$r=\frac{1}{2}$ は $|r|<1$ を満たす。かけるほど小さくなるので $0$ に近づく。

$$\underset{n\to \infty }{\lim }(\frac{1}{2}{)}^n=0$$

まとめ:$r^n$ は「$1$ より小さい数を何回もかけると $0$」というイメージ。${\left(\frac{1}{2}\right)}^n$ は $\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8},\dots$ とどんどん小さくなる。$|r|<1$ が収束の条件だ。

発展 — 一歩先へ。 公比 $r$ の値によって、$r^n$ の運命は $4$ 通りに分かれる。境界がどこにあるかを、正確に押さえよう。

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{r}^n=\{\begin{array}{ll}0& (|r|<1)\\ 1& (r=1)\\ +\infty & (r>1)\\ \text{振動(極限なし)}& (r\leqq -1)\end{array}$$

注意すべきは、$r=-1$ の場合だ。

$$(-1{)}^n:-1,1,-1,1,\dots$$

$1$ と $-1$ を、永遠に行き来する。 大きくもならず、$1$ つの値にも落ち着かない。

これを「振動」といい、極限は存在しない。 発散の一種として扱われる。

$|r|=1$ という境界線上で、$r=1$(収束)と $r=-1$(振動)が分かれる。 ぎりぎりの差が、運命を分ける。

さて、この $|r|<1$ という条件が、思わぬところで顔を出す。

カオスの入り口である。

漸化式 $a_{n+1}=p{a}_n$ を思い出そう。 これは $a_n=a_1{p}^{n-1}$、まさに等比数列だ。

• $|p|<1$ → $0$ に収束(安定)
• $|p|>1$ → 発散(不安定)

もっと一般に、$a_{n+1}=f(a_n)$ という漸化式で、$f$ の不動点 $\alpha$ の近くでは

$$a_{n+1}-\alpha \approx f^{\prime }(\alpha )(a_n-\alpha )$$

ズレが、$f^{\prime }(\alpha )$ 倍ずつ変化する。 これは等比数列だ。

$$\boxed{|f^{\prime }(\alpha )|<1\text{なら収束},|f^{\prime }(\alpha )|>1\text{なら発散}}$$

「$1$ より小さいか、大きいか」 — この $1$ 本の境界線が、安定と不安定を分ける。

天気予報が長期的に当たらないのも、この $1$ を超えているからだ。 大気の運動では、わずかな初期のズレが $|f^{\prime }|>1$ で拡大し続ける。$2$ 週間先には、初期の $0.001$ 度の誤差が、天気を変えてしまう。

「バタフライ効果」の数学的な正体は、$|r|>1$ の等比数列である。

${\left(\frac{1}{2}\right)}^n\to 0$ という素朴な事実の裏側に、「予測できる世界」と「できない世界」の境界線が引かれている。

別解

「$0$ に近づく」を、はさみうちできっちり示す。

公式を使わずに、$0$ に収束する理由を証明する別解である。

まず、$2^n$ と $n$ を比べよう。

$$\begin{array}{ccc}n& 2^n& n\\ 1& 2& 1\\ 2& 4& 2\\ 3& 8& 3\\ 5& 32& 5\\ 10& 1024& 10\end{array}$$

いつでも $2^n>n$ である。

なぜか。 $2^n$ は $n$ が $1$ 増えるたびに $2$ 倍になるが、$n$ は $1$ 増えるだけ。倍々で増えるほうが、必ず勝つ。

この不等式を、逆数にする。

$$2^n>n⟹\frac{1}{2^n}<\frac{1}{n}$$

($2$ つとも正の数なので、逆数をとると不等号が反転する。)

そして、${\left(\frac{1}{2}\right)}^n$ は必ず正である。

この $2$ つを合わせると、はさみうちの形になる。

$$0<{\left(\frac{1}{2}\right)}^n<\frac{1}{n}$$

両端の極限を見る。

$$\underset{n\to \infty }{\lim }0=0,\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}=0$$

左も右も $0$ に行く。 間に挟まれたものは、$0$ に行くしかない。

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(\frac{1}{2}\right)}^n=0$$

はさみうちの原理で、証明できた ✓

この原理の使いどころ。

「直接は計算できないが、上と下から評価できる」 ときに強い。

例。 $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\sin n}{n}$ を求めよ、と言われたら。

$\sin n$ は $n$ とともに振動して、極限をもたない。 直接は手が出ない。

だが、$-1\leqq \sin n\leqq 1$ は必ず成り立つ。

$$-\frac{1}{n}\leqq \frac{\sin n}{n}\leqq \frac{1}{n}$$

両端は $0$ に行く。

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\sin n}{n}=0$$

振動する部分を、絶対値の上限で押さえ込んだ。

「値そのものは追えなくても、大きさなら押さえられる」 — はさみうちは、そういう場面で効く。

もう $1$ つ、対数を使う見方もある。

$${\log }_2{\left(\frac{1}{2}\right)}^n=-n\to -\infty$$

指数が $-\infty$ に飛ぶ → 値は $0$ へ。

「掛け算の世界(等比)を、足し算の世界(等差)に翻訳する」 — 対数の得意技である。