数学III / 関数と極限

三角関数の極限(sin/sin)

★★★ 応用三角関数の極限

問題

極限 $x \to 0 lim \frac{sin 2 x}{sin 3 x}$ を求めよ。

ヒントを見る

分子・分母それぞれに、基本極限が使える形( $sin$ の中身で割る)を作る。足りない分は分数の掛け算で帳尻を合わせる。

解答・解説

分子・分母それぞれを $\frac{sin ( 中身 )}{中身}$ の形にする。 $sin 2 x$ は $\div 2 x$ 、 $sin 3 x$ は $\div 3 x$ で $1$ に近づける。つじつまの係数が残る。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $x \to 0$ で分子も分母も $0$ に近づく $\frac{0}{0}$ 型。

使える道具は基本極限 $\frac{sin θ}{θ} \to 1$ ただ $1$ つ。

そこで分子・分母を、それぞれ $\frac{sin ( 中身 )}{中身}$ の形に整えたい。分子は $2 x$ で、分母は $3 x$ で割ればよい。

両方を $1$ に近づけ、余った角の係数の比を最後に読む、と見通す。

定理

\frac{s i n θ}{θ} \to 1

。分子・分母をそれぞれ中身で割る形に整える

① 分子・分母を基本極限の形に分ける。

$\frac{sin 2 x}{sin 3 x} = \frac{sin 2 x}{2 x} \cdot \frac{3 x}{sin 3 x} \cdot \frac{2 x}{3 x}$

(分子に $2 x$ 、分母に $3 x$ を用意し、つじつまを $\frac{2 x}{3 x}$ で合わせた。)

② 極限をとる。 $\frac{sin 2 x}{2 x} \to 1$ 、 $\frac{sin 3 x}{3 x} \to 1$ (逆数も $1$ )、 $\frac{2 x}{3 x} = \frac{2}{3}$ 。

$x \to 0 lim \frac{sin 2 x}{sin 3 x} = 1 \times 1 \times \frac{2}{3} = \frac{2}{3}$

まとめ: $\frac{sin}{sin}$ 型は、分子・分母を別々に $\frac{sin θ}{θ}$ の形へ。角の係数の比 $\frac{2}{3}$ がそのまま答えになる。 $sin a x$ の $a$ に注目するのがコツだ。

発展 — 一歩先へ。 同じやり方で $x \to 0 lim \frac{sin a x}{sin b x} = \frac{a}{b}$ ( $b \neq = 0$ )。答えは角の係数の比そのものになる。

なぜ比になるかは、 $0$ の近くで $sin a x \approx a x$ 、 $sin b x \approx b x$ とみると分かる。 $\frac{a x}{b x} = \frac{a}{b}$ 。

これは「 $0$ で $0$ になる関数どうしの比は、それぞれの変化率(微分係数)の比に近づく」という一般則の一例。 $sin$ を $tan$ に替えても同じで、 $\frac{tan a x}{sin b x} \to \frac{a}{b}$ となる。

答

$\frac{2}{3}$

別解 — グラフの傾きで見る(苦手な人向けの視覚ルート)。 $0$ のすぐ近くでは、 $y = sin 2 x$ も $y = sin 3 x$ も、原点を通るまっすぐな線にしか見えない。

その直線の傾きは、原点での接線の傾き、つまり $y = sin 2 x$ なら $2$ 、 $y = sin 3 x$ なら $3$ 。近くでは $sin 2 x \approx 2 x$ 、 $sin 3 x \approx 3 x$ と、傾きぶんだけ立ち上がる。

だから $2$ つの比は、立ち上がりの速さの比

$\frac{sin 2 x}{sin 3 x} \approx \frac{2 x}{3 x} = \frac{2}{3}$

に近づく。分子・分母を別々に基本極限へ帰着させる本解と同じ答え。 $\frac{sin θ}{θ} \to 1$ は「 $sin$ は原点近くで傾き $1$ の直線に見える」ことの言いかえだ、と押さえておくとよい。