数列の極限(分数)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $n\to \infty$ を、そのまま代入してみる。

$$\frac{3n+1}{n+2}\to \frac{\infty }{\infty }$$

これでは、値が決まらない。

なぜ決まらないのか。 分子も分母も無限に大きくなるが、どちらがどれくらい速く大きくなるかで、比の行き先が変わるからだ。

• 分子のほうが圧倒的に速ければ → $\infty$
• 分母のほうが速ければ → $0$
• 同じくらいの速さなら → 有限の値

$\frac{\infty }{\infty }$ は「不定形」 — 形だけでは決まらない、という意味である。

決着をつける手は $1$ つ。分母の最高次 $n$ で、分子・分母を割る。

すると $\frac{1}{n}\to 0$ が使えて、消える項と残る項がはっきりする。

「不定形は、割って形を変えてから極限をとる」 — これが極限計算の基本戦術だ。

分子・分母を $n$ で割る。

$$\frac{3n+1}{n+2}=\frac{3+\frac{1}{n}}{1+\frac{2}{n}}$$

$n\to \infty$ で $\frac{1}{n}\to 0$、$\frac{2}{n}\to 0$ なので

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{3n+1}{n+2}=\frac{3+0}{1+0}=3$$

まとめ:$\frac{\infty }{\infty }$ はそのままでは分からない(不定形)。分母の最高次 $n$ で割ると、$\frac{1}{n}\to 0$ が効いて、最高次の係数の比 $\frac{3}{1}$ が残る。

発展 — 一歩先へ。 $\frac{\infty }{\infty }$ が「不定形」であることを、実感しておこう。

分母も分子も $\infty$ に飛ぶ、$3$ つの例を並べる。

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n^2}{n}=\underset{n\to \infty }{\lim }n=\infty$$

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n}{n^2}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}=0$$

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{3n+1}{n+2}=3$$

どれも形は $\frac{\infty }{\infty }$。だが答えは $\infty$、$0$、$3$ とバラバラだ。

「形が同じでも、答えは決まらない」 — これが不定形の意味である。

決めているのは、「無限大の格」だ。

無限大にも、大きさの序列がある。

$$\log n\ll n\ll n^2\ll 2^n\ll n!$$

右へ行くほど、圧倒的に速く大きくなる。

どれくらい違うか。 $n=100$ で比べよう。

$${\log }_{10}100=2,100,10000,2^{100}\approx 10^{30},100!\approx 10^{158}$$

$\log$ と $n!$ では、比べる意味がないほどの差だ。

この序列が分かっていれば、極限は"見るだけ"で分かる。

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n^{100}}{2^n}=0$$

$n^{100}$ は $n=100$ のとき $10^{200}$ という途方もない数だ。 それでも、$2^n$ という指数関数には、必ず負ける。

どんなに高い次数の多項式も、指数関数には勝てない。

この事実は、コンピュータの世界で決定的な意味をもつ。

アルゴリズムの計算時間が

• $n^2$(多項式時間) → データが $10$ 倍で、時間は $100$ 倍。実用的
• $2^n$(指数時間) → データが $10$ 増えるだけで、時間は $1000$ 倍。手に負えない

$n=50$ の指数時間の問題は、スーパーコンピュータでも $1000$ 年かかる。

「多項式時間で解けるか、指数時間しかないか」 — これが、コンピュータサイエンス最大の未解決問題($\mathrm{P}$ 対 $\mathrm{NP}$ 問題、懸賞金 $100$ 万ドル)の核心である。

極限の序列を知ることは、「何が計算可能か」を知ることでもあるのだ。

別解

割り算をして、「定数 $+$ 消える項」の形にする。

分子を、分母で割ってみよう。

$$3n+1=3(n+2)-5$$

確かめる。 $3(n+2)=3n+6$、そこから $5$ を引くと $3n+1$ ✓

この変形を、もとの式に入れる。

$$\frac{3n+1}{n+2}=\frac{3(n+2)-5}{n+2}=3-\frac{5}{n+2}$$

式が、まったく違う顔になった。

$$\frac{3n+1}{n+2}=3-\frac{5}{n+2}$$

ここまで来れば、極限は目で見える。

$n$ を大きくすると、$\frac{5}{n+2}$ の分母が無限に大きくなり、この項は $0$ に消える。

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\left(3-\frac{5}{n+2}\right)=3-0=3$$

本解と同じ答え ✓

この形の利点は、「どう近づくか」まで分かることだ。

$$3-\frac{5}{n+2}<3$$

引き算だから、値は必ず $3$ より小さい。 つまり下から $3$ に近づく。

確かめよう。

$$n=1:\frac{4}{3}\approx 1.33,n=10:\frac{31}{12}\approx 2.58$$ $$n=100:\frac{301}{102}\approx 2.95,n=1000:\approx 2.995$$

下からじわじわと $3$ に迫っている。 決して $3$ を超えない。

「近づき方」の情報は、割った形でないと見えない。

そして、この式はもう $1$ つのことを教えてくれる。

$$y=\frac{3x+1}{x+2}=3-\frac{5}{x+2}$$

これは双曲線だ! 漸近線は $x=-2$ と $y=3$。

極限 $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{3n+1}{n+2}=3$ が計算していたのは、じつは横の漸近線の高さだったのである。

「分数式の極限」と「双曲線の漸近線」は、同じことを違う言葉で言っている。

割り算をして「定数 $+$ 分数」に直す — この変形は、極限にもグラフにも効く、分数式の基本の作法だ。