数列の極限(∞−∞の有理化)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $\sqrt{n^2+3n}\to \infty$、$n\to \infty$ で $\infty -\infty$ の不定形。

根号を含む $\infty -\infty$ は「共役 $\sqrt{}+n$ を掛けて有理化」が定石。

有理化すると分子が $(n^2+3n)-n^2=3n$ と簡単になる。

あとは分母・分子を最高次の $n$ で割れば、極限が読める、と見通す。

① 有理化する。 $\sqrt{n^2+3n}+n$ を掛けて割ると

$$\sqrt{n^2+3n}-n=\frac{(n^2+3n)-n^2}{\sqrt{n^2+3n}+n}=\frac{3n}{\sqrt{n^2+3n}+n}$$

② $n$ で割る。 分母・分子を $n$ で割る($\sqrt{n^2+3n}=n\sqrt{1+\frac{3}{n}}$ に注意)。

$$=\frac{3}{\sqrt{1+\frac{3}{n}}+1}$$

③ 極限をとる。 $n\to \infty$ で $\frac{3}{n}\to 0$ だから

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{3}{\sqrt{1+\frac{3}{n}}+1}=\frac{3}{\sqrt{1}+1}=\frac{3}{2}$$

まとめ:根号の $\infty -\infty$ は「共役を掛けて有理化 → 最高次で割る」。有理化で分子が $3n$ になり、$n$ で割ると $\frac{3}{\sqrt{1+3/n}+1}\to \frac{3}{2}$。$\sqrt{n^2+3n}=n\sqrt{1+3/n}$ の変形が要。

発展 — 一歩先へ。 有理化の裏には近似 $\sqrt{1+t}\approx 1+\frac{t}{2}$(小さい $t$)がある。$\sqrt{n^2+3n}=n\sqrt{1+\frac{3}{n}}\approx n\left(1+\frac{3}{2n}\right)=n+\frac{3}{2}$。

だから $\sqrt{n^2+3n}$ は、大きな $n$ では直線 $n+\frac{3}{2}$ にほぼ重なる。この $n+\frac{3}{2}$ が数列の漸近線で、差の極限 $\frac{3}{2}$ はその「ずれ」を表す。

一般に $\sqrt{n^2+bn}-n\to \frac{b}{2}$。$1$ 次の係数 $b$ を $2$ で割った値になる。$\sqrt{1+t}$ の $1$ 次近似の係数 $\frac{1}{2}$ が効いている。

別解

別解 — $n$ をくくり出して近似で見通す(得意な人向けの視点)。 有理化のかわりに、根号から $n$ をくくり出して考える。

$$\sqrt{n^2+3n}-n=n\sqrt{1+\frac{3}{n}}-n=n\left(\sqrt{1+\frac{3}{n}}-1\right).$$

ここで $\sqrt{1+t}-1=\frac{t}{\sqrt{1+t}+1}$(分子の有理化)を $t=\frac{3}{n}$ で使うと

$$n\cdot \frac{3/n}{\sqrt{1+\frac{3}{n}}+1}=\frac{3}{\sqrt{1+\frac{3}{n}}+1}.$$

$n\to \infty$ で $\frac{3}{n}\to 0$ だから、$\frac{3}{\sqrt{1}+1}=\frac{3}{2}$。

はじめから共役を掛ける本解と本質は同じ。$\sqrt{1+t}\approx 1+\frac{t}{2}$ を知っていれば、$\sqrt{n^2+3n}\approx n+\frac{3}{2}$ から差が $\frac{3}{2}$ とほぼ暗算で見当がつくのが、この見方の強みだ。