√(n²+1) の正弦の極限

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $2\pi \sqrt{n^2+1}$ は限りなく大きくなるので、一見激しく振動しそうだ。だが $\sqrt{n^2+1}$ は $n$ より「ほんの少し」大きいだけ。

そして $\sin$ は周期 $2\pi$ だから、周期の整数倍 $2\pi n$ を引いても値は変わらない。引き算 $\sqrt{n^2+1}-n$ は、有理化すれば $\frac{1}{\sqrt{n^2+1}+n}\to 0$。

つまりこの正弦の正体は「0に近づく小さな角の正弦」だ。$n$ 倍とのバランスは $\frac{\sin \theta }{\theta }\to 1$ で測れる。

① 周期の整数倍をはがす。

$$\sin \left(2\pi \sqrt{n^2+1}\right)=\sin \left(2\pi \sqrt{n^2+1}-2\pi n\right)=\sin \left(2\pi (\sqrt{n^2+1}-n)\right)$$

② 有理化して小さな角にする。

$${\theta }_n=2\pi (\sqrt{n^2+1}-n)=\frac{2\pi }{\sqrt{n^2+1}+n}⟶0$$

③ $n$ 倍とのバランスをとる。

$$n\sin {\theta }_n=n{\theta }_n\cdot \frac{\sin {\theta }_n}{{\theta }_n}$$

ここで

$$n{\theta }_n=\frac{2\pi n}{\sqrt{n^2+1}+n}=\frac{2\pi }{\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}+1}⟶\frac{2\pi }{2}=\pi$$

$\frac{\sin {\theta }_n}{{\theta }_n}\to 1$ とあわせて

$$\underset{n\to \infty }{\lim }n\sin \left(2\pi \sqrt{n^2+1}\right)=\pi$$

まとめ: 「大きく回って見える角は、周期の整数倍をはがして小さくする」— 正弦の周期性を極限の道具として使うのが急所。はがした後は有理化 → $\frac{\sin \theta }{\theta }$ の定番連携で、$\sqrt{n^2+1}$ と $n$ の「差のかけら」だけが答えに生き残る。

発展 — 一歩先へ。 根号の中の $+1$ を $+c$ に変えると、同じ計算で答えは $c\pi$ になる(差のかけら $\sqrt{n^2+c}-n\to \frac{c}{2n}$ が答えを運ぶ)。さらに $\sqrt{n^2+n}$ にすると、半端 $\frac{1}{2}$ が $\sin$ の周期の半分を食い、その先の補正 $-\frac{1}{8n}$ が主役になって答えは $\frac{\pi }{4}$。「根号を $n+(\text{補正})$ と読む」精度を1段ずつ上げる感覚が、この型の全部を支配している。

別解

先に見積もる($\sqrt{n^2+1}\approx n+\frac{1}{2n}$ の目)。 答えの見当を、根号の近似でつけてしまう手がある。

$$\sqrt{n^2+1}=n\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}\approx n\left(1+\frac{1}{2n^2}\right)=n+\frac{1}{2n}$$

(「$\sqrt{1+u}\approx 1+\frac{u}{2}$($u$ が小さいとき)」という平方根の1次近似。)すると角は

$$2\pi \sqrt{n^2+1}\approx 2\pi n+\frac{\pi }{n}$$

周期分 $2\pi n$ を除けば残りは $\frac{\pi }{n}$。$\sin \frac{\pi }{n}\approx \frac{\pi }{n}$ だから、$n$ 倍すれば $\pi$ — 答えが3行で見える。

もちろんこのままでは答案にならない(「$\approx$」は証明でない)。だが先に結論を知ってから本解の有理化・はさみで固めると、計算の目的地が明確になり道に迷わない。見積もりと厳密化の2段ロケットは、極限の実戦での基本装備だ。