無限等比級数の和

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $\frac{2^n+3^n}{6^n}$ は分子が和なので、$2$ つに割れる。

$\frac{2^n}{6^n}+\frac{3^n}{6^n}={\left(\frac{1}{3}\right)}^n+{\left(\frac{1}{2}\right)}^n$。

それぞれ公比 $\frac{1}{3},\frac{1}{2}$ の等比数列。どちらも $|r|<1$ だから、無限等比級数として収束する。

各々を $\frac{\text{初項}}{1-\text{公比}}$ で計算して足す、と見通す。

① $2$ つに分ける。

$$\frac{2^n+3^n}{6^n}={\left(\frac{1}{3}\right)}^n+{\left(\frac{1}{2}\right)}^n$$

② それぞれの和。 ${\left(\frac{1}{3}\right)}^n$ は初項 $\frac{1}{3}$、公比 $\frac{1}{3}$:$\frac{1/3}{1-1/3}=\frac{1/3}{2/3}=\frac{1}{2}$。${\left(\frac{1}{2}\right)}^n$ は初項 $\frac{1}{2}$、公比 $\frac{1}{2}$:$\frac{1/2}{1-1/2}=1$。

③ 足す。

$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{2^n+3^n}{6^n}=\frac{1}{2}+1=\frac{3}{2}$$

まとめ:分子が和の分数級数は「$2$ つの等比級数に分ける」。$\frac{2^n}{6^n}={\left(\frac{1}{3}\right)}^n$ のように公比を見抜き、$|r|<1$ を確認して $\frac{a}{1-r}$。初項が $n=1$ から始まる($a=r$)ことに注意。

発展 — 一歩先へ。 うまく割れたのは $6=2\times 3$ だから。$\frac{2^n}{6^n}={\left(\frac{2}{6}\right)}^n={\left(\frac{1}{3}\right)}^n$ のように、$6^n$ が $2^n$ と $3^n$ を打ち消してくれる。

一般に $\frac{a^n+b^n}{(ab{)}^n}={\left(\frac{1}{b}\right)}^n+{\left(\frac{1}{a}\right)}^n$ と分けられる。分子が和・積の分数級数は、まず「割って等比に見えるか」を試すのが第一手。

無限等比級数 $\sum r^n=\frac{1}{1-r}$ は、あらゆるべき級数のいちばん基本の形。多くの級数は、これに帰着させて和を出す。

別解

別解 — $n=0$ から始めて $1$ を引く(苦手な人向けの整理ルート)。 「初項が公比に等しい」で迷いやすいなら、いったん $n=0$ から足して、あとで $n=0$ の項を引くと安全。

$\sum _{n=0}^{\infty }{\left(\frac{1}{3}\right)}^n=\frac{1}{1-1/3}=\frac{3}{2}$。ここから $n=0$ の項 ${\left(\frac{1}{3}\right)}^0=1$ を引くと、$n\ge 1$ の和は $\frac{3}{2}-1=\frac{1}{2}$。

同じく $\sum _{n=0}^{\infty }{\left(\frac{1}{2}\right)}^n=\frac{1}{1-1/2}=2$。$n=0$ の項 $1$ を引いて、$n\ge 1$ の和は $2-1=1$。

足すと $\frac{1}{2}+1=\frac{3}{2}$。$\frac{\text{初項}}{1-\text{公比}}$ を $n=1$ 始まりで直接使う本解と同じ。$n=0$ 始まりの公式 $\frac{1}{1-r}$ は $1$ から始まる形なので覚えやすく、初項の取り違えを防げる。