はさみうちの原理

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $\sin n$ は $-1$ と $1$ の間を不規則に振動し、極限を持たない。分子の行き先が分からないのに、全体の極限は求まるのか。

求まる — 分母 $n$ の力で。振動していても、大きさが抑えられてさえいればよい。

$$-1\leqq \sin n\leqq 1⟹-\frac{1}{n}\leqq \frac{\sin n}{n}\leqq \frac{1}{n}$$

両端はどちらも $0$ へ。あいだに挟まれた $\frac{\sin n}{n}$ も $0$ へ行くしかない — はさみうちの原理だ。「行き先の分からない量は、行き先の分かる $2$ つで挟む」。

① 上下からはさむ。 $\sin n$ は必ず $-1$ 以上 $1$ 以下。

$$-1\leqq \sin n\leqq 1$$

② 各辺を $n$ で割る。 $n>0$ なので不等号の向きはそのまま。

$$-\frac{1}{n}\leqq \frac{\sin n}{n}\leqq \frac{1}{n}$$

③ 両端の極限をとる。 $\frac{1}{n}\to 0$、$-\frac{1}{n}\to 0$。両端が同じ $0$ に収束するので、はさまれた $\frac{\sin n}{n}$ も $0$。

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\sin n}{n}=0$$

まとめ:$\sin n$ のように「振動して極限が直接分からない」ものは、はさみうちが有効。$|\sin n|\leqq 1$ で上下からはさみ、両端($\pm \frac{1}{n}$)が同じ値に収束すれば、真ん中もその値に決まる。

発展 — 一歩先へ。 はさみうちが本領を発揮するのは、$\frac{\sin \theta }{\theta }\to 1$ の証明そのものだ(扇形の面積を三角形 $2$ つで挟む)。この単元の基本極限は、実ははさみうちの子どもである。

「有界 $\times$ 消える $\to$ 消える」の型は、$\frac{n!}{n^n}\to 0$ や $r^n\cos n\theta \to 0$($|r|<1$)など応用問題の常連。逆に「有界でない量 $\times$ 消える量」($n\cdot \frac{1}{\sqrt{n}}$ など)は結論が定まらない — 「どちらが有界か」を最初に見分けるのが、この型の入り口になる。

別解

同じ内容を、絶対値で書くと $1$ 行になる。

$$\left|\frac{\sin n}{n}\right|=\frac{|\sin n|}{n}\leqq \frac{1}{n}\to 0$$

「絶対値が $0$ に押しつぶされるなら、もとの量も $0$ に行く」— 挟む $2$ 本の式を書く代わりに、大きさ $1$ 本で済ませた形だ(下から $0\leqq$ で挟んでいることは絶対値が保証している)。

この書き方の効用は、構造が名前で見えること。

(有界な量)$\times$(0 に向かう量)$\to 0$

$\sin n$ の正体(いくつに振動するか)は一切使っていない。「$\pm 1$ に収まる」ことだけが必要だった。だから $\frac{\cos n^2}{n}$ でも $\frac{(-1{)}^n}{\sqrt{n}}$ でも、同じ $1$ 行で $0$ と即答できる。

はさみうちは「両側から」が基本形だが、$0$ が目的地のときは「絶対値 $\leqq$ 消える量」の片側版が最速である。