関数の極限(x×根号)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $\sqrt{x^2+1}-x$ は $x\to \infty$ で $0$ に近づく。そこへ $x\to \infty$ が掛かるので、全体は $\infty \times 0$ の不定形。

こういうときは、$0$ に近づく根号の差を有理化して分数に直す。

すると $\frac{x}{\sqrt{x^2+1}+x}$ となり、$\frac{\infty }{\infty }$ の形に化ける。

あとは最高次で割れば極限が読める。$\infty \times 0$ を有理化で $\frac{\infty }{\infty }$ に持ち込むのが要になる。

① 根号部分を有理化する。

$$\sqrt{x^2+1}-x=\frac{(x^2+1)-x^2}{\sqrt{x^2+1}+x}=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}+x}$$

② $x$ をかける。

$$x\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}+x}$$

③ 分母の最高次 $x$ で割る。 $\sqrt{x^2+1}=x\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}$($x>0$)。

$$=\frac{x}{x\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}+x}=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}+1}\to \frac{1}{\sqrt{1}+1}=\frac{1}{2}$$

まとめ:$\infty \times 0$ は、$0$ に近づく部分(根号の差)を有理化して分数にすると、$\frac{\infty }{\infty }$ に化けて処理できる。$x\to \infty$ で $\sqrt{x^2}=x$ を使う点も同じ。

発展 — 一歩先へ。 $\sqrt{x^2+1}$ は、大きな $x$ では直線 $y=x$ にぴったり寄り添う。曲線 $y=\sqrt{x^2+1}$ は双曲線で、$y=x$ がその漸近線だ。

近似で見ると $\sqrt{x^2+1}=x\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}\approx x(1+\frac{1}{2x^2})=x+\frac{1}{2x}$。漸近線からのずれは $\frac{1}{2x}$ ほど。これに $x$ を掛けるから極限が $\frac{1}{2}$ になる。

一般に $x(\sqrt{x^2+c}-x)\to \frac{c}{2}$。根号の中の定数 $c$ を $2$ で割った値が、漸近線からのずれ $\times x$ として残る。

別解

別解 — $\frac{1}{x}$ の置きかえで基本極限に帰着(得意な人向けの視点)。 $x\to \infty$ を、$t=\frac{1}{x}\to 0^{+}$ の問題に翻訳する。

$x=\frac{1}{t}$、$\sqrt{x^2+1}=\frac{1}{t}\sqrt{1+t^2}$($t>0$)だから

$$x(\sqrt{x^2+1}-x)=\frac{1}{t}(\frac{1}{t}\sqrt{1+t^2}-\frac{1}{t})=\frac{\sqrt{1+t^2}-1}{t^2}.$$

ここで $u=t^2\to 0^{+}$ とみると $\frac{\sqrt{1+u}-1}{u}$。これは $\sqrt{1+u}$ の $u=0$ での変化率で、$\to \frac{1}{2}$。

有理化する本解と同じ答え。$x\to \infty$ の極限も、$\frac{1}{x}$ を $0$ に近づける形に直すと、$\frac{\sqrt{1+u}-1}{u}\to \frac{1}{2}$ という見慣れた基本極限に化ける。