数学III / 関数と極限

逆数が等差になる漸化式の極限

実戦編極限漸化式逆数数列単元横断

問題

$a_{1} = 1, a_{n + 1} = \frac{a _{n}}{1 + a _{n}}$ で定まる数列について、一般項 $a_{n}$ を求め、 $n \to \infty lim n a_{n}$ を求めよ。

ヒントを見る

$a_{n + 1} = \frac{a _{n}}{1 + a _{n}}$ の逆数をとると $\frac{1}{a _{n + 1}} = \frac{1 + a _{n}}{a _{n}} = \frac{1}{a _{n}} + 1$ 。 $\frac{1}{a _{n}}$ は等差数列。

解答・解説

方針

分数の漸化式は逆数をとると簡単になることが多い。 $\frac{1}{a _{n + 1}}$ を計算すると公差 $1$ の等差数列になり、 $a_{n}$ が求まる。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 分数の漸化式 $a_{n + 1} = \frac{a _{n}}{1 + a _{n}}$ は、そのままでは扱いにくい。分数型は逆数をとると化けることが多い。

両辺の逆数をとると $\frac{1}{a _{n + 1}} = \frac{1 + a _{n}}{a _{n}} = \frac{1}{a _{n}} + 1$ 。逆数の数列が公差 $1$ の等差数列だ。

$\frac{1}{a _{1}} = 1$ から $\frac{1}{a _{n}} = n$ 、すなわち $a_{n} = \frac{1}{n}$ 。 $n a_{n} = 1$ で極限も $1$ 。

重要分数型

a_{n + 1} = \frac{a _{n}}{1 + a _{n}}

は逆数をとると

\frac{1}{a _{n + 1}} = \frac{1}{a _{n}} + 1

(等差)

① 逆数の漸化式。 $a_{n} > 0$ (帰納的に正)で $\frac{1}{a _{n + 1}} = \frac{1 + a _{n}}{a _{n}} = \frac{1}{a _{n}} + 1.$ ② 一般項。 $\frac{1}{a _{n}}$ は初項 $\frac{1}{a _{1}} = 1$ 、公差 $1$ の等差数列だから $\frac{1}{a _{n}} = 1 + (n - 1) \cdot 1 = n ⟹ a_{n} = \frac{1}{n} .$ ③ 極限。 $n a_{n} = n \cdot \frac{1}{n} = 1 ⟹ n \to \infty lim n a_{n} = 1.$

まとめ 分数型は逆数で等差数列に。 $\frac{1}{a _{n}} = n$ より $a_{n} = \frac{1}{n}$ 、 $n a_{n} = 1 \to 1$ 。漸化式(逆数)と極限の融合。

発展 — 一歩先へ。 漸化式を $a_{n + 1} = \frac{a _{n}}{1 + 2 a _{n}}$ に変えると、逆数が $\frac{1}{a _{n + 1}} = \frac{1}{a _{n}} + 2$ で公差 $2$ 、 $\frac{1}{a _{n}} = 2 n - 1$ 、 $a_{n} = \frac{1}{2 n - 1}$ 。 $n a_{n} \to \frac{1}{2}$ になる。分数型の漸化式は「逆数で等差」がほぼ万能の定石だ。

答

逆数をとると $\frac{1}{a _{n + 1}} = \frac{1}{a _{n}} + 1$ で等差。 $\frac{1}{a _{n}} = n$ 、すなわち $a_{n} = \frac{1}{n}$ 。 $n a_{n} = 1 \to 1$ 。

別解

別解 — 具体的に数項並べてパターンを見る(苦手な人向け)。 逆数の技を思いつく前に、まず手を動かして数列を書き出してみる。

$a_{1} = 1, a_{2} = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}, a_{3} = \frac{1/2}{1 + 1/2} = \frac{1}{3}, a_{4} = \frac{1/3}{1 + 1/3} = \frac{1}{4} .$

$\frac{1}{1}, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \dots$ と、みごとに $a_{n} = \frac{1}{n}$ が並ぶ。

予想が立てば証明は早い。逆数 $\frac{1}{a _{n}}$ が $1, 2, 3, 4, \dots$ と $1$ ずつ増える等差数列だと気づけて、 $\frac{1}{a _{n}} = n$ 。

そして $n a_{n} = n \cdot \frac{1}{n} = 1$ だから、極限も $1$ 。「まず具体例で予想 → 逆数で証明」という順で進むと、なぜ逆数をとるのかが腑に落ちる。数列の極限は、最初の数項を書くだけで正体が見えることが多い。

ポイント

分数型は逆数をとると簡単になる。
$\frac{1}{a _{n + 1}} = \frac{1}{a _{n}} + 1$ (公差 $1$ の等差)。
$a_{n} = \frac{1}{n}$ 、 $n a_{n} = 1 \to 1$ 。

よくある間違い

逆数をとる発想に至らず、分数の漸化式のまま変形して詰まる。
$\frac{1}{a _{n + 1}} = \frac{1 + a _{n}}{a _{n}}$ の計算を誤り、 $+ 1$ でなく別の項を出す。
$a_{n} = \frac{1}{n}$ を求めて満足し、問われている $lim n a_{n} = 1$ まで答えない。