関数の極限(有理化)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $x=0$ を入れると分子 $\sqrt{1}-1=0$、分母 $0$ — $\frac{0}{0}$ の不定形だ。約分できる共通因数が隠れているサインである。

根号があるから、隠れた因数は有理化であぶり出す。分子・分母に $\sqrt{x+1}+1$ を掛けると

$$\frac{(x+1)-1}{x(\sqrt{x+1}+1)}=\frac{x}{x(\sqrt{x+1}+1)}$$

$x$ が約分されて不定形が解消。残った式に $x=0$ を入れるだけだ。

① 分子を有理化する。 $\sqrt{x+1}+1$ を分子・分母にかける。

$$\frac{\sqrt{x+1}-1}{x}=\frac{(x+1)-1}{x(\sqrt{x+1}+1)}=\frac{x}{x(\sqrt{x+1}+1)}$$

② 約分する。 $x\ne 0$ なので $x$ で約分。

$$=\frac{1}{\sqrt{x+1}+1}$$

③ 代入する。 $x\to 0$。

$$\underset{x\to 0}{\lim }=\frac{1}{\sqrt{1}+1}=\frac{1}{2}$$

まとめ:根号の $\frac{0}{0}$ は有理化で解く。分子の $\sqrt{}-1$ に共役 $\sqrt{}+1$ をかけると根号が消え、$0$ を作っていた $x$ が約分できる。約分してから代入だ。

発展 — 一歩先へ。 答え $\frac{1}{2}$ は「$x$ が小さいとき $\sqrt{1+x}\approx 1+\frac{x}{2}$」という近似の係数でもある。$\sqrt{1.02}\approx 1.01$、$\sqrt{0.98}\approx 0.99$ — 平方根の暗算に使える実用近似で、物理でも頻出だ。

$\frac{0}{0}$ 型の処理は、この単元では「因数分解 or 有理化で共通因数を約分」。微分を学んだ後は「微分係数として読む」という第 $2$ の道が開き、さらに先には不定形を微分で処理する一般定理(ロピタルの定理・大学)まで続いている。

別解

この極限、少し先の単元(微分)を知っている人には見覚えのある形だ。

$f(x)=\sqrt{x+1}$ とおくと、$f(0)=1$ だから

$$\frac{\sqrt{x+1}-1}{x}=\frac{f(x)-f(0)}{x-0}$$

— これは $f$ の $x=0$ における微分係数の定義式そのもの。つまりこの極限は $f^{\prime }(0)$ を聞いている。

$f^{\prime }(x)=\frac{1}{2\sqrt{x+1}}$(微分法で学ぶ)だから $f^{\prime }(0)=\frac{1}{2}$ — 有理化の答えと一致する。

$\frac{0}{0}$ 型の極限の多くは、実はどこかの関数の微分係数が変装した姿だ。「分子が $f(\text{何か})-f(\text{定数})$ に見えないか」という目を持つと、極限の単元と微分の単元が $1$ 本につながる。